`take n (take n xs) ≡ take n xs` 用於 Agda 中的 `Vec`

Question

我想證明在 Agda 中為Vec take function 的一個幾乎微不足道的屬性。

open import Data.Vec
open import Data.Nat
open import Relation.Binary.PropositionalEquality

take-idempotent : ∀ n (xs : Vec ℕ n) → take n (take n xs) ≡ take n xs
take-idempotent n xs = ?

我的問題源於這樣一個事實，即take的類型索引由自然數的加法組成。 Agda 將以下消息輸出到上述代碼。

n != n + _n_9 of type ℕ
when checking that the inferred type of an application
  Vec _A_8 n
matches the expected type
  Vec _A_8 (n + _n_9)

我可以使xs具有類似Vec ℕ (n + 0)的類型並應用一次，但結果的類型take是Vec ℕ n 。 要應用take兩次，我需要將xs的類型設置為Vec ℕ (n + 0 + 0)並在第一個應用程序中使用take (n + 0) 。 此外，我需要+ 0調整才能將 lhs 和 rhs 傳遞給_≡_ ，因為它們有不同數量的take應用。

有沒有簡單的方法來 state 並證明這個命題？

Answer 1

這可能是一個比看起來更難的問題。 另一個欺騙性的例子：將向量反轉兩次會產生原始向量。 證明有多難？ 證明列表很容易，對吧？ 事實證明這很難。 查看最近對 Agda 標准庫的貢獻： https://github.com/agda/agda-stdlib/issues/942

在我（非常有限的）經驗中，很容易用鉛筆和紙證明的東西在 Agda 中證明可能更具挑戰性，因為像手頭的技術一樣。 重要的是要對在 Agda 中難以證明的內容和難以證明的內容有一個直覺，並圍繞它構建你的命題。 我認為這一點強調得不夠。

也就是說，這里有一些過去幫助我解決具有不同索引的類型的問題：

• subst - 這似乎是一個有爭議的選擇。 您很容易陷入subst地獄，在那里您看不到所有subst的證明。
• 向量的逐點相等，即證明一個向量的每個元素與另一個向量的對應元素匹配。 好處是可以在大小為n的向量和大小為n + 0的向量之間陳述逐點相等（與命題相等不同）。

更具體地說：

open import Data.Nat
open import Data.Nat.Properties
open import Data.Product
open import Data.Vec
open import Data.Vec.Relation.Binary.Pointwise.Inductive as PI
open import Relation.Binary.PropositionalEquality as PE

take-all₁ : ∀ n → (xs : Vec ℕ n) → (xs′ : Vec ℕ (n + 0)) → Pointwise _≡_ xs xs′ →
  take n xs′ ≡ xs
take-all₁ n xs xs′ p = {!!}

take-all₂ : ∀ n (xs : Vec ℕ n) → take n (subst (Vec ℕ) (PE.sym (+-identityʳ n)) xs) ≡ xs
take-all₂ n xs = {!!}

use₁ : (xs : Vec ℕ 3) → take 3 xs ≡ xs
use₁ xs = take-all₁ 3 xs xs (PI.refl PE.refl)

use₂ : (xs : Vec ℕ 3) → take 3 xs ≡ xs
use₂ = take-all₂ 3

請注意，在use₁和use₂中，所有subst和逐點的討厭都會消失，因為3和3 + 0都減少到3 。 （與n和n + 0不同。）

過去對我有用的是將兩個索引（例如i和k ）與p: i ≡ k一起傳遞給證明。 然后假設i和k對於大多數證明是不相關的，並且只在需要的地方使用p 。 但這似乎不適用於這里。

還有異質相等的概念似乎可以替代命題相等，但它允許不同的索引。 我還沒有探索過。