如何證明一堆𝑛鍵是一個數組𝐴等價於平衡二叉樹

Question

我如何證明下面的句子？ 一堆𝑛鍵是一個數組𝐴等價於平衡二叉樹（葉子的深度在護城河1處不同）。 深度為 Θ(log⁡𝑛 )

Answer 1

該聲明並不完全正確，因為：

• "A heap of 𝑛 keys is an array 𝐴" ：堆不一定使用數組來實現。 這應該改寫。

• “平衡二叉樹” ：這僅適用於二叉堆。 有 d-ary 堆。

• “等價”表示該語句在兩個方向上都有效，但不保證平衡的二叉樹對應於二叉堆。

我建議這樣的聲明：

𝑛 鍵的二叉堆——可以通過大小為 𝑛 的數組 𝐴 來實現——代表一棵平衡二叉樹，其葉子的深度最多相差 1，深度為 Θ(log⁡𝑛)。

這是一個真實的陳述，因為二叉堆根據定義是一棵完整的二叉樹，如Wikipedia中所述：

形狀屬性：二叉堆是一棵完全二叉樹； 也就是說，除了最后一層（最深）之外，樹的所有層都被完全填滿，如果樹的最后一層不完整，則該層的節點從左到右被填滿。

這個屬性已經表明二叉堆是一棵二叉樹，它的葉子在底層，可能還有一些在它上面的層次。 這意味着葉子深度的最大差異為1。

給定一個帶有𝑛鍵的二叉堆，第一層（根）將有 1 個鍵，第二層將有 2 個鍵，第三層將有 4 個鍵，... 以此類推，每次加倍，直到所有鍵都分配完畢，所以最后一層可能有許多不是 2 的冪的節點。

如果我們按照層序對鍵進行編號，從 1 開始，那么第二層最左邊的節點將具有數字 2，第三層最左邊的節點將具有數字 4，......等等，每次2 的下一個冪，因此級別 𝑘（從零開始）的最左側節點的編號為 2 ^𝑘 。 底層最左邊的節點將有一個數字 2 ^𝑘 ，這樣 ⁡𝑛/2 < 2 ^𝑘 ≤ ⁡𝑛

因此，底層節點的深度為 𝑘，（給定上述 2 ^𝑘的范圍）為 O(log𝑛)。

請注意，二叉堆可以很好地表示為數組𝐴這一事實並不真正相關，因為完全二叉樹的屬性已經存在於二叉堆的定義中。