空字符串是所有字母的子集還是元素？

Question

我無法理解空字符串（epsilon）何時是字母表的子集或元素？ 我的理解是 epsilon 只是一種語言的一部分，但我在 class 中的 TA 說它是所有字母的一個元素，所以現在我很困惑。

e.g. would {a,b,c} contain epsilon as an element?
e.g. would {} contain epsilon as an element?
e.g. is {eps} a subset of all alphabets or languages?

Answer 1

這個問題可能更適合cs.stackexchange但我會根據我的理解盡力幫助你，如有必要請糾正我。

一般來說，你自己的直覺對我來說似乎很正確。 ϵ不會自動成為每個字母表的一部分。 它是一個空字符串。

但是，這意味着ϵ是任何字母表上的字符串，甚至是您的字母表{a, b, c} 。

所以回答你的三個例子：

1. 不，不是的。 如果{a, b, c}是一個字母表，它是一組符號，而ϵ是一個字符串。 然而， ε絕對是在這個字母表上定義的某些語言的一部分。

2. 不， {}是空集，它不包含任何內容，甚至不包含ϵ 。

3. {ϵ}是僅包含ϵ的集合。 ϵ是一個字符串，而不是一個符號，因此它不是所有字母的子集（但是，似乎有些字母被定義為包含ϵ但這是一個不同的令人困惑的故事）。 它也不是所有語言的子集，因為考慮語言L = {aa, ab, ba, bb} 。 空字符串∈不是這些元素之一。

集合論的類似物可能會引起一些額外的混亂。 請注意，空集是每個集合的子集。 空字符串不是每種語言的子集，而是任何字符串的substring 。