比 O(N) 更好的搜索排序區間向量的解決方案

Question

給定一組排序區間（first >= second），按區間的第一個元素排序：

{1, 3}, {1, 2}, {2, 4}, {2, 2}, {2, 3}, {3, 5}, {3, 3}, {3, 7}

是否有一種有效的算法來確定與給定輸入間隔相交的第一個間隔？ 例如：

Query ({0, 0}) = returns end()
Query ({2, 4}) = returns iterator to element 0
Query ({3, 8}) = returns iterator to element 0
Query ({4, 9}) = returns iterator to element 2
Query ({7, 8}) = returns iterator to element 7
Query ({8, 9}) = returns end()

高效我的意思是比 O(N) 更好。 我有一種模糊的感覺，這個問題有一個lower_bound或upper_bound的解決方案，但我沒有足夠的精神力量來解決這個問題。

這是我不滿意的 O(N) 解決方案。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>

int main()
{
    using Interval = std::pair<int, int>;
    using Sequence = std::vector<Interval>;
    using Iterator = Sequence::const_iterator;

    auto Query = [](Sequence const & sequence, Interval const & interval) -> Iterator
    {
        return std::find_if(sequence.begin(), sequence.end(), [interval](Interval const & other) {
            return interval.first <= other.second && interval.second >= other.first;
        });
    };

    auto Print = [](Sequence const & sequence, Iterator const & iterator) -> void
    {
        if (iterator == sequence.cend())
        {
            std::cout << "end()\n";
        }
        else
        {
            std::cout << std::to_string(std::distance(sequence.cbegin(), iterator)) << "\n";
        }
    };

    Sequence sequence = {
        {1, 3}, { 1, 2 }, { 2, 4 }, { 2, 2 }, { 2, 3 }, { 3, 5 }, { 3, 3 }, { 3, 7 }
    };

    auto result = Iterator();

    result = Query(sequence, { 0, 0 });

    Print(sequence, result);

    result = Query(sequence, { 2, 4 });

    Print(sequence, result);

    result = Query(sequence, { 3, 8 });

    Print(sequence, result);

    result = Query(sequence, { 4, 9 });

    Print(sequence, result);

    result = Query(sequence, { 7, 8 });

    Print(sequence, result);

    result = Query(sequence, { 8, 9 });

    Print(sequence, result);
}

Output：

end()
0
0
2
7
end()

Answer 1

不可能有比線性算法更快的算法。 考慮輸入，其中每個元素的第一個值為 0，第二個值在某個范圍內是隨機均勻的。 將查詢視為{x,x+1} ，其中x在同一范圍內。

由於您想要“與給定輸入相交的第一個間隔”，因此排序現在沒用了。 您必須全部掃描。

因此，您無法擊敗O(N) 。

Answer 2

正如評論中所說，使用問題中概述的數據結構，你不能做得比線性更好

您不能跳過任何左邊界低於請求區間右邊界的區間，因為右邊界（沒有排序/約束）總是可以假設一個可能使檢查的區間相交的值，所以你不能使用二分搜索立即跳轉到“有趣的區域”。

盡管一旦到達左邊界大於查詢右邊界的區間，您就可以提前退出。

但是，鑒於 OP 可以更改數據表示形式，一旦您使間隔不重疊，這將變得更加容易； 鑒於我們只對相交/不相交測試感興趣，這不是什么大問題。

從排序的數據開始，合並重疊間隔只是一次線性傳遞的問題：保持“當前”元素，並在讀取重疊元素時保持增長； 一旦你得到一個不相交的，推動“當前”的，並使其成為新的“當前”。 這也可以很容易地在原地工作，作為通常的remove_if算法的變體。

對不相交的間隔進行排序后，您可以將二進制搜索應用於您的問題以進行 O(log n) 查詢。 代替vector<pair>的更有利的結構是普通的vector<int> ，其（排序的）邊界被展平為單個序列。

使用這種表示，查詢如下所示：

• 做一個upper_bound尋找查詢間隔的左邊界；
• 如果你得到end ，那么沒有界限更大，所以我們沒有交集；
• 否則，從迭代器獲取索引：
  • 如果索引為奇數，則表示大於搜索值的第一個邊界是右邊界； 這意味着查詢左邊界落在一個區間內，因此我們有一個交集；
  • 否則，查詢的左邊界落在兩個區間之間的一個洞里，所以我們必須檢查查詢的右邊界； upper_bound找到的（偶數索引）元素是下一個區間的左邊界：如果它小於查詢的右邊界，則我們有一個交集，否則查詢區間完全落在洞內，所以有沒有交叉點。

Answer 3

對於給定的輸入，無法檢查每個間隔（最壞情況）。

但是，如果您有很多查詢，您可以一次處理輸入以使查詢更快。

首先創建

struct Interval {
    int start, end;
    size_t first_index;
};
std::vector<Interval> intervals;

然后從輸入間隔中填充它，修改每個間隔以便沒有重疊。

假設您有(1, 4)和(3, 6)然后首先添加{1, 4, 0} ，然后添加{4, 6, 1} 。 間隔重疊的部分(3, 4)查詢需要返回第一個間隔，以便您從第二個間隔中剪掉該部分。

此過程需要O(n)時間，但之后您可以使用二進制搜索來查找間隔。 因此，它只會在許多查詢中更快地攤銷。