調度貪心算法的最優性證明

Question

無法針對給定問題提出算法 A 最優性的正式證明。 已經說服自己可以按照事件截止日期的遞增順序執行一些最佳計划O。 但不知道如何正式證明 extract_max 操作收斂到最優解。

問題

：給定截止日期為“d”和持續時間為“l”天的事件列表，為 select 事件提供算法，以便可以選擇最大數量的事件。 當然，每個事件必須安排在截止日期“d”之前完成，它必須連續運行“l”天，並且在任何給定時間只能運行一個事件。

**Greedy Algorithm A:**

Create max_heap S  //schedule

Sort events by their deadline (increasing).

for(j=0;j<events.size();j++)

{ 

  If you can incorporate event j into schedule S, do so. 

  Else, if(longest event in S > length of j) swap it with j. 


}

Return S; 

END

Answer 1

我們可以用反證法來證明這一點。 假設貪心選擇不是最優解的一部分； 也就是說，如果我們考慮按截止日期升序排列的任務，則最佳解決方案不會包括截止日期最早的任務。 現在，考慮任何假設最優解中截止日期最早的任務。 要么它與貪婪選擇重疊（在這種情況下，我們不妨選擇貪婪選擇，因為它不遲於最優解中最早的任務完成，並且不能與最優解中的任何早期任務重疊，因為它是最早的任務）； 否則它不重疊，在這種情況下最優解不是最優的（因為我們也可以自由地在其中包含貪婪選擇）。 在這兩種情況下，我們都有一個矛盾（在第一種情況下，無法選擇貪婪的解決方案；在第二種情況下，沒有貪婪選擇的解決方案是最優的），因此假設最優選擇不包含貪婪的選擇是錯誤的； 最優解確實包括貪心選擇。