修改后的分配問題（任務多於代理）

Question

假設 N 是代理的數量，M 是任務的數量。 任務數大於代理數，即M>N。每個代理必須至少有一個任務。 給定成本矩形矩陣，找到最優解（即將每個任務分配給一個代理，這樣每個代理至少有一個任務並且成本最小化）。

什么有效的算法可以解決這個問題？

我試圖通過記憶實現朴素的遞歸算法，但是對於超過 1000 的 M 值來說它太慢了。我知道匈牙利方法，但我無法在我的約束下使用該算法（每個代理必須至少有一項任務）。

Answer 1

這可以表述為最小成本最大流量問題。

從水槽開始。 它沿着成本 0 和流量 1 的通道連接到任務。每個任務沿着矩陣和流量 1 的成本通道連接到代理。每個代理連接到具有流量 1 和成本 0 的通道的接收器。代理也是連接到具有流量MN和高成本通道的池。 並且池連接到具有流量MN的通道的水槽並且成本同樣高。

具有最小成本的最大流量將從源到任務的流量為M 然后它將有一個從源到代理的M流。 N的流量將把廉價而狹窄的管道從代理直接帶到水槽。 而剩下的MN會走昂貴的路線到 pool，再從 pool 到 sink。 因為從代理到池再返回的流量是昂貴的，所以流向池的流量最少，沒有從池返回到代理的流量。

因此，最大流量將是您問題的答案，每個代理至少從一項任務中獲得流量。

Answer 2

LP/MIP Model

下面是一個簡單的優化 model：

# sets
i : tasks
j : agents

# model
min sum((i,j), c[i,j]*x[i,j])
sum(j, x[i,j]) = 1  ∀i  "assign each task to an agent"
sum(i, x[i,j]) >= 1 ∀j  "each agent needs to do at least one task"
x[i,j] ∈ {0,1}

這些模型往往很容易解決。

這是一個小測試腳本：

import cvxpy as cp
import numpy as np

NTASK = 1000
NAGENT = 200

# random data
np.random.seed(123)
c = np.random.uniform(1,100,(NTASK,NAGENT))

# model
x = cp.Variable((NTASK,NAGENT),boolean=True)
prob = cp.Problem(cp.Minimize(cp.sum(cp.multiply(c,x))),
                  [cp.sum(x,axis=1) == 1, 
                   cp.sum(x,axis=0) >= 1])

# solve and print results
res = prob.solve(verbose=True)
print(prob.status)
print(prob.value)
# print(x.value) 

如果您願意，可以通過將 x 變量放寬為x[i,j] ∈ [0,1]來將此 model 作為 LP 求解。

網絡 Model

這也可以建模為一個簡單的最小成本流網絡問題。

this.network 的數據將是：

Node        Supply          Arc         Cost      Capacity
Task nodes     1      task→worker      c[i,j]        1
Worker nodes  -1      worker→sink        0          n-m 
Sink node   −(n−m)