如何構造 L 接受的 DFA：w 包含'110'且不包含'010'？

Question

L = { w 屬於 {0,1}* | w 包含 '110' 不包含 '010'}

我需要構造接收 L 的 DFA。

我怎樣才能畫出一個能同時滿足這兩個條件的 DFA？

提示將是一個很大的幫助。

Answer 1

有限狀態機（或自動機）包括：

• 一組有限的符號，稱為“字母表”。
• 一組有限的狀態。 除了標簽之外，狀態中沒有其他信息。
• 轉換表，將每對 <state, symbol> 映射到一個新狀態。
• 起始狀態：機器在讀取第一個符號之前所處的狀態的名稱。
• 接受狀態集：定義成功匹配的狀態集的子集。

機器以起始狀態啟動，然后依次讀取每個符號。 當它讀取一個符號時，它使用轉換表來決定下一個狀態是哪個。 當它到達終點時，如果當前狀態在接受集中，它就宣布成功； 否則，它宣布失敗。

在確定性有限狀態自動機 (DFA) 中，轉換表是單值且完整的； 也就是說，每個條目都只填充了一個狀態。 （構建 DFA 通常涉及添加一個“接收器狀態”，它是非接受的並且在每個符號上都有一個自轉換。這個狀態用於處理不能在接受輸入開始的輸入。）

如果你有一個識別語言 L 的 DFA，你可以通過簡單地將接受狀態集替換為非接受狀態集來為 L 的補集構造一個 DFA。 因此，如果您有一個識別任何包含 010 的輸入的 DFA，您可以構造一個識別任何不包含 010 的輸入的 DFA，只需更改接受狀態列表即可。

如果你有兩個識別語言 L ₁和 L ₂的 DFA，你可以構造一個新的 DFA，它只識別 L ₁和 L ₂中的那些字符串——也就是說，交集 L ₁ ∩ L _2——使用笛卡爾兩個 DFA 的乘積。 在新機器中：

• 字母表是原始字母表的交集。 （通常，在此操作中所有的字母表都是相同的。我只是為了完整性而注意到這一點。）
• 新機器的狀態是原始機器狀態的笛卡爾積。 換句話說，新狀態是所有對 <q _i , r _j >，其中 q _i是第一台機器的狀態，r _j是第二台機器的狀態。
• 轉換表是使用兩個原始轉換表構建的。 如果第一台機器在符號 α 上存在從 q _i到 q _i'的轉換，並且在第二台機器中在同一符號 α 上存在從 r _j到 r _j'的轉換，則在組合機器中存在 α 上的轉換從 <q _i , r _j > 到 <q _i' , r _j' >。
• 組合機的起始狀態是原機的一對起始狀態。
• 組合機器的接受狀態都是<q _i , r _j >對，其中q _i是第一台機器的接受狀態，r _j是第二台機器的接受狀態。

因此，如果您可以為以下內容構造 DFA：

• 包含110的字符串的語言
• 對於包含010的字符串的語言，則可以使用上述兩個過程構造一個包含110和不包含010的DFA。