[英]Fastest modular exponentiation in JavaScript
我的問題是在 JavaScript 中快速計算(g^x) mod p ，其中^是取冪， mod是模運算。 所有輸入都是非負整數， x大約有 256 位， p是 2048 位的素數， g最多可以有 2048 位。
Most of the software I've found that can do this in JavaScript seems to use the JavaScript BigInt library ( http://www.leemon.com/crypto/BigInt.html ). 在我的慢速瀏覽器（帶有 SpiderMonkey 的 Firefox 3.0）上，用這個庫進行一次這樣大小的冪運算大約需要 9 秒。 我正在尋找至少快 10 倍的解決方案。 對於 2048 位數字來說，使用平方和乘法（乘方求冪， http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_by_squaring ）的明顯想法太慢了：它最多需要 4096 次乘法。
升級瀏覽器不是一種選擇。 使用另一種編程語言不是一種選擇。 將號碼發送到 web 服務不是一種選擇。
是否有更快的替代方案實施？
更新：按照文章http://www.ccrwest.org/gordon/fast.pdf在下面 outis 的回答中提到的建議，通過做一些額外的准備工作（即預先計算幾百次冪），可以對 2048-位模冪運算最多僅使用 354 次模乘。 （傳統的平方和乘法方法要慢得多：它使用最多 4096 次模乘。）這樣做在 Firefox 3.0 中將模冪運算速度提高了 6 倍，在 Google Chrome 中提高了 4 倍。 我們沒有得到 4096/354 的完全加速的原因是 BigInt 的模指數算法已經比平方和乘法更快，因為它使用了蒙哥馬利減少（ http://en.wikipedia.org/wiki/Montgomery_reduction ） .
更新：從 BigInt 的代碼開始，似乎值得做兩級手動優化（和內聯）Karatsuba 乘法（ http://en.wikipedia.org/wiki/Karatsuba_algorithm ），然后才恢復到 base-32768 O( n^2) 在 BigInt 中實現的乘法。 這將 2048 位整數的乘法速度提高了 2.25 倍。 不幸的是，模運算並沒有變得更快。
Update: Using the modified Barrett reduction defined in http://www.lirmm.fr/arith18/papers/hasenplaugh-FastModularReduction.pdf and Karatsuba multiplication and precomputing powers (as defined in http://www.ccrwest.org/gordon/ fast.pdf ），我可以在 Firefox 3.0 中將單次乘法所需的時間從 73 秒縮短到 12.3 秒。 這似乎是我能做的最好的，但它仍然太慢。
Update: The ActionScript 2 (AS2) interpreter in the Flash Player isn't worth using, because it seems to be slower than the JavaScript interpreter in Firefox 3.0: for Flash Player 9, it seems to be 4.2 times slower, and for Flash Player 10，它似乎慢了 2.35 倍。 有人知道 ActionScript2 和 ActionScript3 (AS3) 在數字處理方面的速度差異嗎？
Update: The ActionScript 3 (AS3) interpreter in Flash Player 9 isn't worth using because it has just about the same speed as the JavaScript int Firefox 3.0.
Update: The ActionScript 3 (AS3) interpreter in Flash Player 10 can be up to 6.5 times faster than the JavaScript interpreter in Firefox 3.0 if int is used instead of Number , and Vector.<int> is used instead of Array . 2048 位大 integer 乘法至少快 2.41 倍。 因此，可能值得在 AS3 中進行模冪運算，如果可用，在 Flash 播放器 10 中執行它。 請注意，這仍然比 V8 慢，即 Google Chrome 的 JavaScript 解釋器。 請參閱http://ptspts.blogspot.com/2009/10/javascript-and-actionscript-performance.html以了解各種編程語言和 Z686155AF75A60A0F6E9D80C17F 實現的速度比較
更新：有一個非常快速的 Java 解決方案，如果安裝了 Java 插件，可以從瀏覽器的 JavaScript 調用。 以下解決方案比使用 BigInt 的純 JavaScript 實現快約 310 倍。
<body>hi0
<script type="text/javascript">
document.body.innerHTML += '<br>hi1';
if ('object'==typeof java) {
var x = new java.math.BigInteger("123456789123456789", 10);
var p = new java.math.BigInteger("234567891234567891", 10);
var g = new java.math.BigInteger("3", 10);
var v = x.modPow(x, p);
document.body.innerHTML += '<br>' + v.toString();
document.body.innerHTML += '<br>' + v.toString(16);
} else {
document.body.innerHTML += '<br>java plugin not installed';
}
</script></body>
任何人都可以將此代碼翻譯為 Silverlight (C#) 嗎？
我使用“％”表示模塊（mod），“/”表示整數除法。 設函數f（p，g，x，r）在r <p且g <p的條件下計算（r * g ^ x）％p。 f（）可以實現為：
bigint_t f(p,g,x,r) {
bigint_t i, z = g, y;
for (i = 1; i < x; ++i) {
y = z; z *= g;
if (z > p) break;
}
if (i >= x - 1) return r*z%p; // g^x*r%p = g^x*r
else return f(p,y,x/i,g^(x%i)*r%p); // reduce to (r*g^(x%i)%p)*(g^i)^(x/i)%p
}
此例程涉及更多計算，但每個整數小於4096位，通常遠小於g ^ x。 我相信這可能比直接計算更有效。 還要注意，g ^（x％i）可以以更快的方式計算，因為我們已經計算了g ^（i + 1）。
編輯：看這篇文章 。 Mehrdad提供了正確（和更好）的解決方案。
為什么不使用像C這樣的更合適的語言在某種Web服務中使用服務器端呢？ 然后，時間將是一次往返（少於9秒）的時間，加上服務器使用本機代碼中的一些BigInt庫計算結果的時間。 這可能會快得多。
嘗試使用JavaScript上的http://code.google.com/p/bi2php/進行蒙哥馬利模塊縮減。
我很想看到你修改過的BigInt庫的源代碼 - 它可以在任何地方使用嗎？
最初陳述的問題不再適用，但即使在今天，對於搜索模冪算法的 JavaScript 程序員來說，這個線程仍然漂浮在谷歌的頂部。 希望這可以幫助一些人：
function bn_powMod(a, e, m) {
// h/t https://umaranis.com/2018/07/12/calculate-modular-exponentiation-powermod-in-javascript-ap-n/
if (m === 1n)
return 0n;
if (e < 0n)
return bn_powMod(bn_modInv(a, m), -e, m);
let b = 1n;
a = a % m;
while (e > 0n) {
if (e % 2n === 1n)
b = (b * a) % m;
e = e >> 1n;
a = (a * a) % m;
}
return b;
}
function bn_modInv(a, m) {
// h/t https://github.com/python/cpython/blob/v3.8.0/Objects/longobject.c#L4184
let b = 1n, c = 0n, m0 = m, q, r;
while (m) {
q = a / m;
r = a % m;
[a, b, c, m] = [m, c, b - q*c, r];
}
if (a !== 1n)
throw new RangeError("Not invertible");
if (b < 0n)
b += m0;
return b;
}
如果您正在尋找真正高效的解決方案，您可以嘗試Pomcor 的pjclMontExp或npm 的 modules modular-power ； 前者至少不需要ES6 BigInts，所以它甚至可能是舊瀏覽器的候選者。
如果您來這里是因為您正在使用自己的瀏覽器內基於 RSA 的加密技術，請記住存在定時攻擊和無數種實現攻擊，並考慮使用更預先打包的 .
為什么對於大數，模冪運算在Python和Javascript中的工作方式不同？
[英]Why Modular Exponentiation functions work differently in Python and Javascript for large numbers?
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