為什么（a | b）相當於 - （a＆b）+ b？

Question

我正在尋找一種方法來使用Oracle數據庫進行BITOR（）並且遇到了一個建議，只需使用BITAND（）代替BITOR（a，b）替換為+ b - BITAND（a，b）。

我用手測試了幾次並驗證它似乎適用於我能想到的所有二進制數，但我無法想出為什么這是正確的快速數學證明。
有人可以開導我嗎？

Answer 1

A和B是在A和B中都打開的位組.A - （A和B）為您留下所有那些僅在A中打開的位。將B添加到該位，並獲得所有位在A中或在B中的那些

簡單地添加A和B將不起作用，因為攜帶兩個都有1位。 通過首先去除A和B共同的位，我們知道（A-（A和B））將沒有與B共同的位，因此保證將它們加在一起不會產生進位。

Answer 2

想象一下，你有兩個二進制數： a和b 。 並且假設這些數字在同一位中同時沒有1，即如果a在某個位中有1，則b在相應位中始終為0。 而在其它方向上，如果b在一些比特具有1，則a總是在該位為0。 例如

a = 00100011
b = 11000100

這將是滿足上述條件的a和b的示例。 在這種情況下很容易看出a | b a | b與a + b完全相同。

a | b = 11100111
a + b = 11100111

現在讓我們取兩個違反我們條件的數字，即兩個數字在某個公共位中至少有一個1

a = 00100111
b = 11000100

是a | b a | b在這種情況下是否與a + b相同？ 沒有

a | b = 11100111
a + b = 11101011

他們為什么不同？ 它們是不同的，因為當我們+在兩個數字中都有1的位時，我們產生所謂的進位 ：結果位為0，並且1被傳送到左邊的下一位： 1 + 1 = 10 。 操作| 沒有攜帶，所以1 | 1 1 | 1再次只是1。

這意味着a | b的區別 當且僅當數字在公共位中具有至少一個1時，才出現a | b和a + b 。 當我們將兩個數字與1個公共位相加時，這些公共位被“加”兩次並產生一個進位，這破壞了a | b之間的相似性a | b a | b和a + b 。

現在看看a & b 。 a & b計算什么？ a & b產生的數字在a和b都有1的所有位中都有1.在我們的最新例子中

a =     00100111
b =     11000100
a & b = 00000100

如上所述，這些正是使a + b與a | b不同的位 a | b 。 a & b的1表示將發生進位的所有位置。

現在，當我們做a - (a & b)我們有效地從a和僅這樣的位中刪除 （減去）所有“有問題”的位

a - (a & b) = 00100011

數字a - (a & b)和b沒有共同的1位，這意味着如果我們添加a - (a & b)和b我們將不會遇到進位，並且，如果你考慮它，我們應該最后得到的結果就像我們剛剛做a | b a | b

a - (a & b) + b = 11100111

Answer 3

A和B = C，其中在C中設置的任何位是在A和B中設置的位。
AC = D或BC = E將這些公共位設置為0.沒有攜帶效應，因為1-1 = 0。
D + B或E + A類似於A + B，不同之處在於因為我們先前減去了A和B，所以由於清除了D或E中所有常用的位，所以不會有進位。

最終結果是AA＆B + B或BA＆B + A等同於A | B.

這是一個真值表，如果它仍然令人困惑：

A | B | OR   A | B | &    A | B | -    A | B | + 
---+---+---- ---+---+---  ---+---+---  ---+---+---
 0 | 0 | 0    0 | 0 | 0    0 | 0 | 0    0 | 0 | 0  
 0 | 1 | 1    0 | 1 | 0    0 | 1 | 0-1  0 | 1 | 1
 1 | 0 | 1    1 | 0 | 0    1 | 0 | 1    1 | 0 | 1  
 1 | 1 | 1    1 | 1 | 1    1 | 1 | 0    1 | 1 | 1+1

注意+和 - 操作中的進位行，我們避免那些，因為A-（A和B）設置的情況都是A中的位，B中的A是1到0，然后從B中添加它們也帶來了其他情況在A或B中是1，但兩者都不是0，所以OR真值表和A-（A＆B）+ B真值表是相同的。

另一種觀察它的方法是看到A + B幾乎像A | B，除了底行的進位。 A＆B隔離了我們的底行，AA＆B將那些隔離的那些移動到+表中的兩行，並且（AA和B）+ B變得等同於A | B.

雖然你可以將它轉交給A + B-（A和B），但我擔心可能出現溢出，但這似乎是不合理的：

#include <stdio.h>
int main(){ unsigned int a=0xC0000000, b=0xA0000000;
printf("%x %x %x %x\n",a,   b,       a|b,       a&b);
printf("%x %x %x %x\n",a+b, a-(a&b), a-(a&b)+b, a+b-(a&b)); }

c0000000 a0000000 e0000000 80000000
60000000 40000000 e0000000 e0000000

編輯 ：所以我在得到答案之前寫了這個，然后在我的家庭連接上有兩個小時的停機時間，我終於設法發布它，之后才注意到它已經被正確回答了兩次。 就個人而言，我更喜歡使用真值表來計算按位運算，所以我會留下它以防萬一它可以幫助某人。

Answer 4