MATLAB代碼幫助。 后向歐拉法

Question

這是我使用后向Euler方法以數值方式求解ODE的MATLAB / FreeMat代碼。 但是，結果與我的教科書結果不一致，有時甚至很荒謬。 代碼有什么問題？

function [x,y] = backEuler(f,xinit,yinit,xfinal,h)

    %f - this is your y prime
    %xinit - initial X
    %yinit - initial Y
    %xfinal - final X
    %h - step size

    n = (xfinal-xinit)/h; %Calculate steps

    %Inititialize arrays...
    %The first elements take xinit and yinit corespondigly, the rest fill with 0s.
    x = [xinit zeros(1,n)];
    y = [yinit zeros(1,n)];

    %Numeric routine
    for i = 1:n
        x(i+1) = x(i)+h;
        ynew = y(i)+h*(f(x(i),y(i)));
        y(i+1) = y(i)+h*f(x(i+1),ynew);
    end
end

Answer 1

您的方法是一種新方法。 歐拉既不向前也不向后。 :-)

正向歐拉： y1 = y0 + h*f(x0,y0)

solve in y1: y1 - h*f(x1,y1) = y0向后歐拉solve in y1: y1 - h*f(x1,y1) = y0

您的方法： y1 = y0 +h*f(x0,x0+h*f(x0,y0))

您的方法不落后於歐拉。

您無需在y1求解，只需使用正向Euler方法估算y1 。 我不想對您的方法進行分析，但是我相信，即使與正向Euler相比，它的表現也確實很差，因為您在錯誤的點評估了函數f 。

這也是我能想到的最接近您的方法的方法，也是顯式的，它應能提供更好的結果。 這是Heun的方法 ：

y1 = y0 + h/2*(f(x0,y0) + f(x1,x0+h*f(x0,y0)))

Answer 2

我能發現的唯一問題是該行：

n=(xfinal-xinit)/h

應該：

n = abs((xfinal-xinit)/h)

避免負步數。 如果沿負x方向移動，請確保為該函數提供負的步長。

您的答案可能會有所不同，因為您對答案的近似程度較高。 為了獲得半准確的結果，deltaX必須非常小，步長必須非常非常小。

PS。 這不是“后向歐拉方法”，而只是常規的舊歐拉方法。

如果這是家庭作業，請給它加上標簽。

Answer 3

看一下數值配方 ，特別是第16章，常微分方程的積分。 已知Euler方法存在問題：

不建議在實際應用中使用Euler方法的原因有很多，其中：（i）與其他同等方法相比，該方法不太精確，並且以相同的步長運行；（ii）也不很穩定

因此，除非您知道教科書使用的是Euler方法，否則我不會期望結果匹配。 即使是，您也可能必須使用相同的步長才能獲得相同的結果。

Answer 4

除非您真的想通過自己編寫的Euler方法求解ODE，否則應該看一下內置的ODE求解器 。

附帶說明：您無需像這樣在循環內創建x(i) ： x(i+1) = x(i)+h; 。 相反，您可以簡單地編寫x = xinit:h:xfinal; 。 另外，您可能需要寫n = round(xfinal-xinit)/h); 避免警告。

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這是由MATLAB實現的求解器。

ode45基於顯式的Runge-Kutta（4,5）公式，即Dormand-Prince對。 它是一步式求解器–在計算y（tn）時，只需要前一個時間點y（tn-1）的解即可。 通常，ode45是最適合第一次嘗試解決大多數問題的最佳功能。

ode23是Bogacki和Shampine的顯式Runge-Kutta（2,3）對的實現。 在粗公差和中等強度的情況下，它可能比ode45更有效。 像ode45一樣，ode23是一步式求解器。

ode113是變量階Adams-Bashforth-Moulton PECE求解器。 在嚴格的公差以及ODE文件功能的評估成本特別高的情況下，它可能比ode45更有效。 ode113是一個多步求解器-通常需要在幾個前面的時間點求解這些問題，才能計算出當前解決方案。

以上算法旨在解決非剛性系統。 如果它們似乎過慢，請嘗試使用以下剛性求解器之一。

ode15s是一個基於數值微分公式（NDF）的變階求解器。 可選地，它使用通常效率較低的后向微分公式（BDF，也稱為Gear方法）。 像ode113一樣，ode15s是一個多步求解器。 當ode45出現故障或效率很低時，如果您懷疑問題很嚴重，或者在解決微分代數問題時，請嘗試ode15。

ode23s基於2階經過修改的Rosenbrock公式。由於它是單步求解器，因此在粗公差下，它可能比ode15s更有效。 它可以解決ode15無效的一些僵化問題。

ode23t是使用“自由”插值的梯形規則的實現。 如果問題只是中等程度的剛性，並且您需要一個沒有數值阻尼的解決方案，請使用此求解器。 ode23t可以解決DAE。

ode23tb是TR-BDF2的實現，TR-BDF2是一個隱式Runge-Kutta公式，其第一級為梯形規則步，第二級為二階向后微分公式。 通過構造，相同的迭代矩陣用於評估兩個階段。 像ode23一樣，此求解器在原始公差下可能比ode15更有效率。

Answer 5

我認為這段代碼可以工作。 嘗試這個。

for i =1:n
    t(i +1)=t(i )+dt;
    y(i+1)=solve('y(i+1)=y(i)+dt*f(t(i+1),y(i+1)');
    end 

Answer 6

代碼很好。 只是您必須在for循環中添加另一個循環。 檢查一致性級別。

if abs((y(i+1) - ynew)/ynew) > 0.0000000001 
    ynew = y(i+1);
    y(i+1) = y(i)+h*f(x(i+1),ynew);
end

我檢查了一個虛擬函數，結果令人鼓舞。