Wadler，“功能編程的Monads”，第2.8節

Question

編輯II：啊，好吧：我不明白a和b是如何綁定在eval的定義中的！ 現在我做。 如果有人感興趣，這是跟蹤a和b的圖表。 我非常喜歡圖表。 我發誓，繪制箭頭確實改善了我的Haskell。

評估電子圖（PDF）

有時候我覺得自己真的很濃

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在Wadler的“ Monads for Functional Programming ”第2.8節中，他將狀態引入了一個簡單的評估函數。 原始（非monadic）函數使用一系列let表達式跟蹤狀態，並且很容易遵循：

data Term = Con Int | Div Term Term
 deriving (Eq, Show)

type M a = State -> (a, State)
type State = Int

eval' :: Term -> M Int
eval' (Con a) x   = (a, x)
eval' (Div t u) x = let (a, y) = eval' t x in
                    let (b, z) = eval' u y in
                    (a `div` b, z + 1)

monadic評估器的單位和綁定的定義同樣簡單明了：

unit :: a -> M a
unit a = \x -> (a, x)

(>>=) :: M a -> (a -> M b) -> M b
m >>= k = \x -> let (a, y) = m x in
                let (b, z) = k a y in
                 (b, z)

這里，（>> =）接受monadic值m :: M a ，函數k :: a - > M b ，並輸出monadic值M b 。 m的值取決於lambda表達式中替換x的值。

然后Wadler引入了函數tick ：

tick :: M ()
tick = \x -> ((), x + 1)

再次，直截了當。 然而， 不直接的是如何將這些函數鏈接在一起以產生一個評估函數，該函數返回執行的除法運算符的數量。 具體來說，我不明白：

（1）如何實施滴答 。 例如，以下是有效的函數調用：

(tick >>= \() -> unit (div 4 2)) 0
 ~> (2, 1)

但是，我無法用手正確評估它（表明我誤解了一些東西）。 特別是：（a）在0處評估tick的結果是（（），0），那么lambda表達式如何接受（）？ （b）如果a是通過在0處調用tick返回的對中的第一個元素，那么如何評估單位 ？

（2）如何組合tick和unit來跟蹤執行的除法運算符的數量。 雖然非monadic評估器沒有問題，但bind的使用讓我感到困惑。

編輯：謝謝大家。 我認為我的誤解是lambda表達式的作用，'（ - ） - unit（div 4 2）'。 如果我理解正確，

(tick >>= (\() -> unit (div m n)) x

擴展到

(\x -> let (a, y) = tick x in
       let (b, z) = (\() -> unit (div m n) a y) in
       (b, z)) x

當'a'應用於'（） - > unit（div mn）a y'時，不會產生'實際結果'。 通過將任何變量與lambda運算符綁定，並用值替換它，可以實現相同的效果。 在這種情況下， 綁定的多功能性是任何值M a都可以傳遞給它。 如上所述，值M a表示計算，例如'eval'。 因此：

eval (Con a) = unit a

eval (Div t u) = eval t >>= (\a ->
                  eval u >>= (\b ->
                   tick >>= (\c -> unit (a `div` b))))

如果我理解正確，'eval t'代替m和表達式的其余部分，即函數

'(\a -> eval u >>= (\b -> tick >>= (\c -> unit (a `div` b))))'

代替k 。 評估'eval t'的結果綁定到（a，y），並且評估k的結果綁定到（b，z）。 我有辦法去，但這有點清除它。 謝謝。

Answer 1

1A）

在0處評估tick的結果是（（），1） - 再次查看代碼，它將輸入值增加1。

lambda表達式接受（）因為它是綁定操作的右側，這意味着它的類型應該是（（） - > M b）。 因此它將（）作為其第一個參數，然后使用“unit”作為M b項。

圖1b）

我不太清楚你在這里問的是什么。 綁定運算符被定義為將結果和狀態從第一個操作（分別是（）和1）傳遞到第二個操作，因此單元最終被傳遞1作為當前狀態（結果，（）被吞下lambda表達式）。 當前狀態由單位函數保持原樣，結果是4 div 2的結果，即2。

2）

大概你會想要一些類型的功能：

divCounted :: Int -> Int -> M Int

它既可以組合刻度和單位（類似於你的方式），確保勾選一次以增加計數，並使用單位來回饋結果。

Answer 2

您可以像這樣手動評估表達式：

(tick >>= \() -> unit (div 4 2)) 0

如果將tick和\\() -> unit (div 4 2)插入到>>=的定義中，則變為：

(\x -> let (a, y) = tick x in
       let (b, z) = (\() -> unit (div 4 2)) a y in
       (b, z)) 0

如果現在通過將0替換為x應用該函數，則得到：

let (a, y) = tick 0 in
let (b, z) = (\() -> unit (div 4 2)) a y in
(b, z)

現在讓我們將tick應用於0：

let (a, y) = ((), 0 + 1) in
let (b, z) = (\() -> unit (div 4 2)) a y in
(b, z)

所以a ()和y變為0+1 ，即1 。 所以我們有

let (b, z) = (\() -> unit (div 4 2)) () 1 in
(b, z)

如果我們將函數應用於()我們得到

let (b,z) = unit (div 4 2) 1 in
(b,z)

如果我們申請單位，我們得到

 let (b,z) = (div 4 2, 1) in
 (b,z)

div 4 2是2，結果是(2,1) 。

Answer 3

1a）在0處評估tick的結果是（（），1），那么lambda表達式如何接受（）？

關於狀態monad的關鍵是bind負責該對的第二個組件，即狀態。 lambda表達式只需要處理() ，該對的第一個組件，返回值。

一般來說，關於monad M的關鍵在於它抽象了整個國家的線索。 您應該將類​​型M a的值視為計算機程序，它返回類型a的值，同時還會弄亂狀態。 洞察力是兩個操作unit和>>=足以編寫任何這樣的程序; 構建和解構對(a,s)的整個業務可以在這兩個函數中捕獲。