找到1和N之間的所有數字的總和，可以用x或y整除

Question

假設我們有3數字N ， x和y ，它們總是>=1 。

N將大於x和y ， x將大於y 。

現在我們需要找到1到N之間的所有數字之和，它們可以被x或y整除 。

我想出了這個：

sum = 0;
for(i=1;i<=N;i++)
{
  if(i%x || i%y)
    sum += i;
}

有沒有更好的方法來找到避免for循環的總和？

我現在已經好好打了很多天，但沒有更好的東西。

如果N的值具有上限，我們可以使用查找方法來加速該過程。

感謝大家。

我想要一個基於C / C ++的解決方案。 是否有內置函數來執行此操作？ 或者我必須編寫算法代碼？

Answer 1

是。 你可以完全取消for循環，並在恆定時間內找到總和。

根據包含 - 排除原理，總結x倍數和y倍數，並減去兩次加入的公共倍數，應該給出我們所需的總和。

Required Sum = sum of ( multiples of x that are <= N ) +      
               sum of ( multiples of y that are <= N ) -
               sum of ( multiples of (x*y) that are <= N )

例：

N = 15
x = 3
y = 4

Required sum = ( 3 + 6 + 9 + 12 + 15) +  // multiples of 3
               ( 4 + 8 + 12 ) -          // multiples of 4
               ( 12 )                    // multiples of 12

如上所示，我們不得不減去12 ，因為它是一個常見的倍數。

整個算法O（1）怎么樣？

令sum(x, N)是小於或等於N的x的倍數之和。

sum(x,N) = x + 2x + ... + floor(N/x) * x
         = x * ( 1 + 2 + ... + floor(N/x) )
         = x * ( 1 + 2 + ... + k)    // Where k = floor(N/x)
         = x * k * (k+1) / 2         // Sum of first k natural num = k*(k+1)/2

現在k = floor(N/x)可以在恆定時間內計算。

一旦知道k sum(x,N)就可以在恆定時間內計算sum(x,N) 。

因此，所需的總和也可以在恆定時間內計算。

編輯：

只有當x和y是共素時，上述討論才成立。 如果不是，我們需要使用LCM(x,y)代替x*y 。 有許多方法可以找到LCM，其中一種方法是通過GCD划分產品。 現在GCD不能在恆定時間內計算，但其時間復雜度可以顯着小於線性時間。

Answer 2

如果一個數字可被X整除，則它必須是x的倍數。 如果一個數字可被Y整除，則它必須是y的倍數。

我相信，如果你為x和y的所有倍數做一個for循環，並避免任何重復，你應該得到相同的答案。

在我的腦海中，有類似的東西：

sum = 0
for( i=x; i<=n; i+=x)
    sum += i;

for( i=y; i<=n; i+=y)
    if( y % x != 0 )
        sum += i;