網絡流：添加新優勢

Question

最近，有人要求我設計一種算法， for a network having V vertices and E edges, if by adding an edge (it's capacity should be 1) results in increase the maximum flow. 那就是我們必須設計這樣的算法來找到這樣的邊緣。

算法應該比O(|E|* h(|V||E|))更快，其中h(|V||E|)是計算最大流量所需的時間。

提前致謝。 讓我知道是否不清楚。

Answer 1

（Philip所說的正確版本。）計算最大流量。 提取一個無能力的有向圖，該圖由具有正剩余容量的弧組成。 當且僅當存在從源頭到尾巴以及從頭到水槽的路徑時，添加特定的電弧會增加最大流量，即，引入電弧會產生增加路徑。

在您的示例{s->a, a->b, a->c, a->d, b->t, c->t, d->t} ，最大流量為s-3>a, a-1>b, a-1>c, a-1>d, b-1>t, c-1>t, d-1>t ，並且殘差圖具有每個后向弧{a->s, b->a, c->a, d->a, t->b, t->c, t->d} 。 從s可以到達的頂點是{s} ，從t可以到達的頂點是{t} ，所以唯一可以增加最大流量的弧是s->t 。

Answer 2

根據最大流最小切定理[1]，網絡中的最大流等於最小割中所有邊緣權重的總和。 因此，解決方案可能如下所示：

• 通過使用Edmonds-Karp-Algorithm（福特-Fulkerson-Algorithm的專門技術）找到總邊緣權重為X的最小切口。 根據[1]，這在O(h|V||E|) 。
• 添加一條邊緣，該邊緣連接屬於切割(S, S')不同分區的節點，即添加一條邊緣(u,v) ，其中u在S ， v在S' 。
• 重復該操作，直到不再有總邊緣權重為X切口為止。

Answer 3

我認為解決方案可以是：

1. 首次運行最大流量算法。 現在，我們有殘差圖G。
2. 然后我們找到所有邊（u，v），以便在殘差圖G中找到從s到u的路徑以及從v到t的路徑。

最壞情況下的復雜度為O（| V | ^ 2（| V | + | E |）+ h（| V || E |））。

Answer 4

另一個解決方案可能是以下方法：

步驟1.找到包含最小頂點數量的最小切割（稱其頂點Vmin）。

第2步。找到包含最大頂點數量的最小切割（稱為頂點Vmax）。

第三步。 查找鏈接Vmin和V \\ Vmax但不屬於E的所有邊。

為什么這樣做？ （I）添加一個新的uv邊緣是好事，因為它包含在每個最小切割中（准確地說：如果它鏈接了最小切割的不同組成部分），並且（II）最小切割的“組”接近於並集和路口。

復雜：

對於步驟1，2，我發現了以下很好的算法： 如何使用最大流量算法找到圖形上的最小割口？ 。 這可用於查找具有最小和最大頂點的最小切割。 這似乎在h（| E || V |）+ O（| V | ^ 3）中運行，其中當您檢查BFS是否結束時（即不再更新），O（| V | ^ 3）來自BFS。存在剩余的相鄰對象）。

對於步驟3，具有O（| Vmin | * | V \\ Vmax |），即O（| V | ^ 2）。

因此，步驟1,2,3 = h（| E || V |）+ O（| V | ^ 3）

請注意，這只是一個簡單的草圖：)