寫一個更快的組合算法

Question

我正在嘗試編寫一個組合算法，以獲得n中k所有可能組合而不重復。

公式是：

n!/(k!(n-k)!)); 

結果以數組結尾。 我實際寫的是這樣的：

function Factorial($x)
{
    if ($x < 1)
    {
        echo "Factorial() Error: Number too small!";
    )

    $ans = 1;
    for ($xx = 2; $xx >= $x; $xx++)
    {
        $ans = $ans * $xx;
    }

    return($ans);
}

function Combination($selectcount,$availablecount)
{
    $ans = Factorial($availablecount) / (
        Factorial($availablecount - $selectcount) * Factorial($selectcount)
    );

    return ($ans);
}

這是實現這一目標的最快方法嗎？ 有沒有辦法加快速度？ 也許以遞歸方式寫出來？

Answer 1

我認為問題是計算C（n，k），這可以在不計算階乘的情況下完成，訣竅是首先要注意

C(n,k) = (n*(n-1)...(n-k+1)) / (1*2*...*k) = (n/1)*(n-1/2)*...(n-k+1/k)

也為了效率

C(n,k) = C(n,n-k), therefore choose which ever is smaller k or n-k

如果有錯誤，請隨意編輯，因為我已經從C轉換它，我不知道PHP

function nCk($n, $k)
{
    if( $n-$k<$k )
        $k = $n-$k;
    $ans = 1;
    for( $i=1; $i<=$k; ++$i )
    {
        $ans = ($ans*($n-$i+1))/$i;
    }
    return $ans;
}

Answer 2

IMO不值得優化，除非由於浮點限制而使用HEAVY：170！ = 7.257415615308E + 306，下一個階乘（171！）超出浮點范圍。 我猜這個遞歸會減慢進程（但沒有測試過）。

Answer 3

function Factorial($x)
{
    if ($x < 1)
    {
        echo "Factorial() Error: Number too small!";
    }

那是錯的， 0! = 1 定義了0! = 1 ，因此測試應該是$x < 0 。

    $ans = 1;
    for ($xx = 2; $xx >= $x; $xx++)

你錯了條件，它必須是$xx <= $x 。

function Combination($selectcount,$availablecount)
{
    $ans = Factorial($availablecount) / (
        Factorial($availablecount - $selectcount) * Factorial($selectcount)
    );

    return ($ans);
}

你有兩個潛在的問題，

1. 調用Factorial函數比在這里計算組合計數的循環要慢
2. 階乘變得非常快，因此在不需要的地方冒險溢出和不准確

這些是否是實際問題取決於您的應用。 你寫道，結果最終是一個數組，大概是為了避免重新計算，所以初始計算的速度不那么重要。 但是，溢出問題可能很好。 為了避免這些，按照Pascal三角形遞歸計算數組條目， choose(n+1,k) = choose(n,k) + choose(n,k-1) ，其中如果k < 0 choose(n,k) = 0 k < 0或k > n 。 或者，您可以計算以choose(n,0) = 1開頭的每一行choose(n,0) = 1並choose(n,k) = choose(n,k-1)*(n+1-k)/k為1 <= k <= n 。 兩種方法都避免了大的中間n! 從而為更廣泛的數字提供准確的結果。

Answer 4

這是我設法獲得階乘循環的最快速度：

function Factorial($factVal) {
    if ($factVal < 0) {
        die("Factorial() Error: Number too small!");
    }

    $factorial = 1;
    while ($factVal > 1) {
        $factorial *= $factVal--;
    }
    return $factorial ;
}

Answer 5

您實際上不需要計算完整的分子和分母。 例如：

C(7,2) = 7! / (2! * (7-2)!) = 7! / (2! * 5!) = (7 * 6) / (2 * 1)

也就是說，分母中的最大因子取消了分子的階乘的最低部分。 所以，例如，如果k> n / 2，你需要做的就是將數字從k + 1乘以n然后除以（nk）！ 這節省了相當於計算全因子的大量工作。

這是這種方法的草案：

function Combination($selectcount,$availablecount)
{
    $remainder = $availablecount - $selectcount;
    if ($remainder > $selectcount) {
        $tmp = $remainder;
        $remainder = $selectcount;
        $selectcount = $tmp;
    }
    $ans = 1;
    while ($availablecount > $selectcount) {
        $ans *= $availablecount;
        $availablecount--;
    }
    while ($remainder > 1) {
        $ans /= $remainder;
        $remainder--;
    }

    return ($ans);
}