存儲大量基數B的最佳方法是什么？

Question

存儲大型基本B編號的最佳方法是什么，以便能夠有效地完成右移和檢查最低有效位等操作？

實際上，我遇到了一個面試問題

Given two numbers N and K such that 0<=N<=1000 and 0<=K<=1000^1000. I need 
to check that whether N^N = K or not. For example:

if N=2 and K=4 , 2^2 = 4 so return true;
if N=3 and K=26 , 3^3 != 26 so return false

我在想的是，如果我考慮base N number system ，那么N^N將等於1 followed by N zero 。 例如 - 對於N = 2,2 ^ 2 = 100（在基數2中），對於N = 3,3 ^ 3 = 1000（在基數3中）。 然后，我可以輕松編寫一個函數來判斷K = N^N是否。

int check(unsigned long int N, unsigned long int K) 
{
    unsigned long int i;
    for (i=0; i<N; i++) 
    {
        if (K%N != 0) //checking whether LSB is 0 or not in base N number system 
           return 0;
        K = K/N; //right shift K by one. 
    }
    return (K==1);
}

現在這個功能有兩個主要問題：

1) An unsigned long int is not sufficient to store large numbers of range 0 
to 1000^1000.
2) The modulus and the division operations makes it every less efficient.  

為了使其高效，我正在尋找一些方法來表示大的基數N數，以便我可以執行右移並有效地檢查最低有效位操作。 以前有人遇到過這樣的事嗎？ 或者有誰知道有效解決這個問題的任何其他方法？

Answer 1

要檢查相等性，您實際上不必進行高精度算術 - 您可以使用http://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem 。 找到足夠的質數以確保它們的乘積大於N ^ N，然后依次檢查N ^ N對K的每個質數的模數。

在實踐中，我可能會使用Java BigInteger包進行簡單的計算。

Answer 2

根據面試官的不同，可以接受一些答案。 如果其中任何一項都不被接受，那么希望面試官能夠迅速推動您提出其他建議。

• 使用gmp ，或者使用mpz_t而不是unsigned long來執行除法和模數，或者只計算N^N並將其與K進行比較。 這是最簡單的方法。
• 編寫自己的大數字庫，可能使用基數10作為內部表示而不是基數2，如果輸入在基數10中，並且認為堅持使用它可能比首先轉換為二進制更快。 當然它不一定是一個完整的算術庫，你真正需要的只是與余數的划分。
• 發明一些你可以在開始之前做的快速測試，以避免在某些方面K在N^N附近時很多工作。 例如，測試log(K) / N是否近似等於log(N) ，在任何基數中采用的日志對於輸入最方便。 或測試多少次K和N是整除的數字方便像2或10 ：如果K是不能分開的正是N次很多次N ，那么它顯然是錯誤的。 或者測試它們是否等於一些小數，例如ULONG_MAX或1000000 。 不幸的是，這種事情只能加速某些不平等的情況，它會減慢其他一切，包括它們的情況。 所以它可能適得其反，取決於你期望的輸入。

mcdowella的回答可能是也可能不是最好的，我不知道。 特別有希望的是，您只需要生成一次素數（當您編寫程序時），並且在100 N <= 1000從1009開始的1000個素數就足夠了。 較大的素數意味着需要的更少，因此工作量更少，特別是如果它們不超過ULONG_MAX平方根。 通過平方或等效使用取冪來得到N^N模數每個素數，並且對於K ，無論輸入是什么基礎，每次都做幾個數字。

要真正閃存，對於每個預先選擇的素數p您可以編寫（或讓編譯器為您編寫）模運算操作，該操作比適用於任何除數的一般整數模運算更快。 也就是說，一個體面的編譯器i % 1009可能會快於i % j其中的價值j是在編譯時未知，但原來在運行時是1009。但要注意，在速度上的差異可能收不回（比如）通過函數指針調用它的成本。 因此，利用它可能需要一些丑陋的重復代碼。

Answer 3

為什么要將數字轉換為基數N？

你可以繼續除以N.如果你在N之后得到1這樣的除數那么它就是N ^ N. 否則它不是。

您必須將K存儲為字符串並執行divison操作。

divide(k,n):
  c = ''
  a = ''
  for i in k:
    c = c+i
    a = a+ str(int(c)/ int(n))
    c = str(int(c) % int(n))
 return a

這是在python中，你可以在C中實現類似的東西

Answer 4

給定兩個數字N和K，使得0 <= N <= 1000且0 <= K <= 1000 ^ 1000。 我需要檢查是否N ^ N = K.

很大程度上取決於提供給代碼時這些數字的存儲方式。 假設它們是文本格式，我只是保持這種方式，並創建一個包含N ^ N值的1001個字符串數組。 您可以使用任意精度算術命令行程序（如bc來一次性創建這些字符串，並在循環中調用它。

Answer 5

由於1000 ^ 1000中只有1000個“好”值（並且它們將彼此相距很遠），因此可以先使用一些對數近似來猜測N. 在那之后，您最多只需要一次精確檢查（例如，使用一些bignum庫）。

這個對數不必是精確的，即使strlen（）可以足夠近似。