如何證明喬姆斯基范式中的推導需要2n-1步？

Question

我試圖證明以下內容：

如果G是喬姆斯基范式中的無上下文語法，那么對於任何字符串w屬於長度n≥1的L（G），它需要恰好2n-1步才能得出w的任何推導。

我該如何證明這一點？

Answer 1

作為暗示 - 因為Chomsky Normal Form的每一部作品都有形式

S→AB，非終端A和B，或形式

S→x，對於終端x，

然后派生一個字符串將以下列方式工作：

• 然后創建一個完全n個非終結符的字符串
• 將每個非終結符擴展到單個終端。

應用第一種形式的產生將增加從k到k + 1的非終結符的數量，因為你用一個非終結符號（+2）替換一個非終結符號（-1）以獲得+1非終結符號的凈增益。 由於您從一個非終結符號開始，這意味着您需要執行第一個表單的n - 1個作品。 然后你需要n個更多的第二種形式來將非終結符轉換為終端，總共給出n +（n - 1）= 2n - 1個作品。

要說明的是，你需要的正是這種很多，我會建議由矛盾做了證明，並表明你不能與任何更多或更少的任何做到這一點。 作為提示，嘗試計算每種類型的制作數量，並顯示如果不是2n - 1，則字符串太短，或者您仍然會留下非終結符號。

希望這可以幫助！