有什么方法可以減少時間復雜度，以找到該矩陣為n的冪？

Question

我正在研究一個問題，我應該找到4x4矩陣的nth冪，其中n可以大到10^15並且由於答案中的值可能非常大，我可以使用modulo 10^9+7 。 給定矩陣為-

   2  1 -2 -1
A= 1  0  0  0
   0  1  0  0
   0  0  1  0 

我已經為此目的編寫了代碼，但是它的運行時間超過了預期的時間。 所以任何人都可以幫助我減少時間復雜度。

#define FOR(k,a,b) for(typeof(a) k=(a); k < (b); ++k)
typedef long long ll;
#define dim 4
struct matrix {
    long long a[dim][dim];
};
#define MOD 1000000007
matrix mul(matrix x, matrix y)
{
    matrix res;
    FOR(a, 0, dim) FOR(b, 0, dim) res.a[a][b] = 0;
    FOR(a, 0, dim) FOR(b, 0, dim) FOR(c, 0, dim) {
    ll temp = x.a[a][b] * y.a[b][c];
    if (temp <= -MOD || temp >= MOD)
        temp %= MOD;
    res.a[a][c] += temp;
    if (res.a[a][c] <= -MOD || res.a[a][c] >= MOD)
        res.a[a][c] %= MOD;
    }
    return res;
}

matrix power(matrix m, ll n)
{
    if (n == 1)
        return m;
    matrix u = mul(m, m);
    u = power(u, n / 2);
    if (n & 1)
        u = mul(u, m);
    return u;
}

matrix M, RP;
int main()
{
    FOR(a, 0, dim) FOR(b, 0, dim) M.a[a][b] = 0;
    M.a[0][0] = 2;
    M.a[0][1] = 1;
    M.a[0][2] = -2;
    M.a[0][3] = -1;
    M.a[1][0] = 1;
    M.a[2][1] = 1;
    M.a[3][2] = 1;
    int nt;
    scanf("%d", &nt);
    while (nt--) {
    ll n;
    scanf("%lld", &n);
    RP = power(M, n);
    FOR(a, 0, dim)
        FOR(b, 0, dim)
        printf("%lld\n", RP.a[a][b]);
    }
    return 0;
}

Answer 1

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是。 准確地執行您想要的事情的絕佳方法是眾所周知的。 您必須對角化矩陣。

對角化將需要一些編程。 該理論在這里進行了說明。 14.6。 幸運的是，現有的矩陣代數庫（例如LAPACK）已經包含對角化例程。

@Haile正確有趣地觀察到，並非所有矩陣都是對角線化的，存在退化的情況。 我在這種情況下沒有太多實踐經驗。 有Schur分解（請參閱先前鏈接的資料的14.10節），但我通常看到Schur僅用於提出理論要點，而不是進行實際計算。 不過，我相信Schur會成功。 我懷疑，要實現它需要付出很多努力，但是即使在嚴格不可對角化矩陣的情況下，它也能奏效。

Answer 2

您可以利用多個測試用例來減少總計算量。

請注意，每次調用冪時，都會重新計算原始矩陣2的所有冪。 因此，對於10 ^ 15（約2 ^ 50）這樣的數字，您將最終對一個矩陣進行50次平方運算，並為該數字中的每個非零位計算一個乘法（可能是25次）。

如果您僅預先計算2的50次冪，則每個測試用例平均只需要25次乘法，而不是75次。

您可以將這個想法更進一步，並為您的求冪使用不同的基礎。 這將導致更多的預計算，但每個測試值的最終矩陣乘法更少。

例如，代替預先計算M ^ 2，M ^ 4，M ^ 8，M ^ 16，您可以預先計算[M ^ 1，M ^ 2，M ^ 3]，[M ^ 4，M ^ 8，M ^ 12 ]，[M ^ 16，M ^ 32，M ^ 48]，因此M ^ 51將是（M ^ 3）*（M ^ 48）而不是M * M ^ 2 * M ^ 16 * M ^ 32

Answer 3

這並不是關於更快地對矩陣求冪的想法，而是關於加速整個程序的想法。

如果要求您執行10 ^ 4取冪，這並不意味着它們應該獨立進行。 您可以對請求進行排序，並為每個下一次計算重用先前的結果。

您還可以存儲先前計算的中間結果。