使用優先隊列的 Prims 算法的復雜性？

Question

我正在使用鄰接矩陣，優先級隊列是數據結構。

根據我的計算，復雜度是V^3 log V ：

• While 循環： V
• 檢查相鄰頂點： V
• 如果條目已經存在，則檢查隊列並更新： V log v

但是，我到處都讀到復雜度是V^2

請解釋。

Answer 1

如果您使用斐波那契堆，則提取最小值是O(lg V)攤銷成本，更新其中的條目是O(1)攤銷成本。

如果我們使用這個偽代碼

while priorityQueue not empty
    u = priorityQueue.exractMin()
    for each v in u.adjacencies
        if priorityQueue.contains(v) and needsWeightReduction(u, v)
            priorityQueue.updateKeyWeight(u, v)

假設實現對於priorityQueue.contains(v)和needsWeightReduction(u, v)都有固定的時間。

需要注意的是，您可以稍微更緊地檢查鄰接關系。 雖然外部循環運行V次，並且檢查任何單個節點的鄰接關系是最壞的V操作，但您可以使用聚合分析來意識到您永遠不會檢查超過E鄰接關系（因為只有 E 邊緣）。 和E <= V^2 ，所以這是一個更好的界限。

所以，你有外循環 V 次，內循環 E 次。 提取最小值運行V次，更新堆中的條目運行E次。

  V*lgV + E*1
= O(V lgV + E)

同樣，由於E <= V^2你可以使用這個事實來替代並得到

  O(V lgV + V^2)
= O(V^2)

但在考慮稀疏圖時，這是一個更寬松的界限（盡管是正確的）。

Answer 2

使用基於最小堆的優先級隊列，時間復雜度為 O(ElogV)。

正如您所說，外部 while 循環是 O(V)，因為它遍歷每個頂點，因為每個頂點都需要添加到 MST 一次。

對於 while 循環中考慮的每個頂點，需要執行以下兩個步驟：

1. 選擇下一條邊添加到 MST。 根據基於最小堆的優先級隊列的屬性，根元素總是最小的元素。 因此，選擇下一個邊，即成本最低的邊，將是對根元素的 O(1) 提取。 提取后剩余的值需要以維持優先級隊列的方式移動。 由於隊列表示平衡二叉樹，因此在最壞的情況下，這種偏移可能會在 O(logV) 內發生。

2. 更新優先級隊列。 與新頂點相關的邊可能需要在隊列中更新它們的成本，因為我們現在將考慮與新添加的頂點及其鄰居之間的邊相關的成本（但是，如果它們通過一條邊與先前添加的頂點相鄰）成本低於新引入的邊緣，成本不會更新，因為我們正在尋找最低成本）。 這也是 O(logV)，因為在最壞的情況下，一個頂點需要在代表隊列的平衡二叉樹的整個長度上移動。

步驟 1 發生 V 次，因為它在 while 循環中發生一次，所以總共是 O(VlogV)，步驟 2 在最壞的情況下發生 E 次，其中每條邊都連接到當前頂點，因此它們都需要更新，這意味着它是 O(ElogV) 總數。 設置是 O(E)，因為它需要將優先級隊列中的每個邊成本初始化為無窮大。

使用基於最小堆的優先級隊列的總時間復雜度 = O(E + VlogV + ElogV) = O(ElogV)

當您閱讀復雜度為 O(V^2) 時，您可能正在查看不使用堆的實現。 在這種情況下，外部 while 循環仍然是 O(V)。 瓶頸在於選擇要添加到 MST 的下一個頂點的步驟，即 O(V)，因為您需要檢查與每個相鄰節點相關的成本以找到最低成本，這在最壞的情況下意味着檢查所有其他節點。 因此復雜度為 O(V*V) = O(V^2)。

此外，在非常密集的圖中，O(ElogV) 變為 O(V^2)，因為在任何圖中，最多可以有 E = V^2 個總邊。

Answer 3

如果不使用優先級隊列，則使用二叉堆它包括兩個基本步驟： 1.Insertion 使用插入排序算法的插入時間復雜度在最壞情況下為 O(E^2) 2.Deletion 刪除每個出隊需要 O(1) 並且dequeue 相當於頂點數，如果使用映射，否則將幾乎相同所以，這里的總時間復雜度是 O(V+E^2)