操作真的與一個免費的monad同構嗎？

Question

證明

在這篇博文中，Tekmo指出我們可以證明ExitSuccess退出是因為（我認為）它就像構造函數的Const函子（它不帶x因此fmap行為類似於const ）。

通過操作包，Tekmo的TeletypeF可能會被翻譯成如下：

data TeletypeI a where
    PutStrLn :: String -> TeletypeI ()
    GetLine :: TeletypeI String
    ExitSuccess :: TeletypeI ()

我已經讀過，操作與一個免費monad是同構的，但我們可以在這里證明ExitSuccess退出嗎？ 在我看來它遇到了與exitSuccess :: IO ()完全相同的問題，特別是如果我們要為它編寫一個解釋器，我們需要把它寫成就像它沒有退出一樣：

eval (ExitSuccess :>>= _) = exitSuccess

與不涉及任何模式通配符的免費monad版本相比：

run (Free ExitSuccess) = exitSuccess

怠惰

在操作Monad教程中， apfelmus提到了一個缺點：

狀態monad表示為s - >（a，s）可以應對一些無限的程序，如

 evalState (sequence . repeat . state $ \\s -> (s,s+1)) 0 

而指令列表方法沒有希望處理它，因為只有最后一個Return指令才能返回值。

對於免費的monad也是如此嗎？

Answer 1

（請允許我通過大膽結合以前的答案來獲得大獎。;-)）

關鍵的觀察是：證明究竟是什么？ 根據Free TeletypeF的表述，我們可以證明以下內容：

Free TeletypeF a類型程序的每個解釋器在遇到ExitSuccess指令時必須退出。 換句話說，我們自動獲得代數定律

  interpret (exitSuccess >>= k) = interpret exitSuccess 

因此， Free monad實際上允許您將某些代數定律烘焙到該類型中。

相反，操作方法不限制ExitSuccess的語義，沒有與每個解釋器相關的相關代數法。 可以編寫在遇到此指令時退出的解釋器，但也可以編寫不能解釋的解釋器。

當然，您可以通過檢查證明任何特定的解釋器滿足法律，例如因為它使用通配符模式匹配。 Sjoerd Visscher觀察到您還可以通過將ExitSuccess的返回類型ExitSuccess為Void來在類型系統中強制執行此操作。 然而，這不適用於可以融入自由單子的其他法律，例如mplus指令的分配法則。

因此，在一個令人困惑的事件轉變中，如果你將“自由”解釋為“最少量的代數定律”，那么操作方法比免費monad更自由。

這也意味着這些數據類型不是同構的。 但是，它們是等價的：每個用Free編寫的解釋器都可以轉換成用Program編寫的解釋器，反之亦然。

就個人而言，我喜歡將我的所有法律都放入翻譯中，因為有許多法律無法融入免費的monad中，我喜歡將它們全部放在一個地方。

Answer 2

答案是肯定的，但僅當您使用TeletypeF的其他翻譯時：

data TeletypeI a where
    PutStrLn :: String -> TeletypeI ()
    GetLine :: TeletypeI String
    ExitSuccess :: TeletypeI Void

TeletypeI的論點是操作將/必須提供給程序的其余部分。 它是繼續k in的參數的類型

eval (ExitSuccess :>>= k) = ...

由於沒有Void類型的值，我們可以確定永遠不會調用k 。 （一如既往，我們必須忽略undefined 。）

等效類型是：

data TeletypeI a where
    PutStrLn :: String -> TeletypeI ()
    GetLine :: TeletypeI String
    ExitSuccess :: TeletypeI a

現在我們必須為k匹配任何類型提供一個值，我們也不能這樣做。 這可能更實用，因為singleton ExitSuccess現在具有靈活類型Program TeletypeI a 。

類似地， exitSuccess可以通過給它類型IO Void或IO a來修復。

Answer 3

答案是否定的，你無法證明操作者忽略了exitSuccess上的其余程序。 將TeletypeI與TeletypeF對比以了解原因。 為了便於比較，我將用GADT表示法重寫TeletypeF

data TeletypeF x where                     | data TeletypeI x where
  PutStrLn :: String -> x  -> TeletypeF x  |   PutStrLn :: String -> TeletypeI ()
  GetLine :: (String -> x) -> TeletypeF x  |   GetLine :: TeletypeI String
  ExitSuccess ::              TeletypeF x  |   ExitSuccess :: TeletypeI ()

使用TeletypeF ，我們可以立即構建實際程序：

GetLine (\str -> PutStrLn (map toUpper str) ExitSuccess)

TeletypeI不拿出一個辦法來指代“節目的其余部分”，因為同樣的方式TeletypeF一樣。

-- TeletypeF:
GetLine (\str -> "rest of program" goes here)
-- or
PutStrLn someString ("rest of program" goes here)
-- or
ExitSuccess -- there is no "rest of program" slot provided

由於TeletypeI缺少此“程序的其余部分”信息，因此當您遇到ExitSuccess時，您將無法獲得任何知識。

-- TeletypeI
PutStrLn someString -- no information about "rest of program"
-- or
GetLine -- no information about "rest of program"
-- or
ExitSuccess -- no information about "rest of program"

允許來的是“程序的其余部分”完全取決於Program類型，它對應用它的指令集一無所知。 它只允許您將指令綁定在一起，並通過Return終止。