添加類型級別自然數

Question

我假設，不可能在haskell中添加兩個類型級自然數。 這是真的？

假設自然數的定義如下：

class HNat a

data HZero
instance HNat HZero

data HSucc n
instance (HNat n) => HNat (HSucc n)

以類似於以下的方式定義HAdd是否合適：

class (HNat n1, HNat n2, HNat ne) => HAdd n1 n2 ne | n1 n2 -> ne
instance             HAdd HZero HZero HZero
instance (HNat x) => HAdd HZero x     x
instance (HNat n1 
         ,HNat x) => HAdd (HSucc n1)  x (HAdd n1 (HSucc x) (???))

Answer 1

您不需要添加HZero和HZero 。 第二種情況已經涵蓋了這一點。 想想你如何通過對第一個參數的歸納，在術語水平上添加Peano自然：

 data Nat = Zero | Succ Nat

 add :: Nat -> Nat -> Nat
 add Zero     y = y
 add (Succ x) y = Succ (add x y)

現在，如果您正在使用函數依賴項，那么您正在編寫邏輯程序。 因此，不是在右側進行遞歸調用，而是在左側為遞歸調用的結果添加約束：

 class (HNat x, HNat y, HNat r) => HAdd x y r | x y -> r
 instance (HNat y)     => HAdd HZero     y y
 instance (HAdd x y r) => HAdd (HSucc x) y (HSucc r)

您不需要第二個實例中的HNat約束。 它們隱含在類的超類約束上。

這些天，我認為進行這種類型級編程的最好方法是使用DataKinds和TypeFamilies 。 您在術語級別定義：

 data Nat = Zero | Succ Nat

然后你可以使用Nat作為一種類型，也可以作為一種類型 。 然后，您可以在兩個自然數上定義類型系列，如下所示：

 type family Add (x :: Nat) (y :: Nat) :: Nat
 type instance Add Zero     y = y
 type instance Add (Succ x) y = Succ (Add x y)

這更接近於添加的術語級定義。 此外，使用“提升”類Nat可以使您不必定義諸如HNat類的類。

Answer 2

有可能的。 看一下package type-level-natural-number和`type-level-natural-number-operations 。 兩者都有點舊，但易於使用，后者定義了Plus類型。

無論如何，我會改變你的最后一行到這樣的東西（我沒有測試這是否編譯）。

instance (HNat n1, HNat x, HAdd n1 x y) => HAdd (HSucc n1) x (HAdd n1 x (HSucc y))

基本上，您所做的是以歸納方式定義加法，並且附加約束HAdd n1 xy添加必要的歸納情況。