如何将复杂的方程式放入R公式中？

Question

我们将树的直径作为预测因子，树高作为因变量。 对于这种数据存在许多不同的方程式，我们尝试对其中的一些进行建模并比较结果。

但是，我们无法弄清楚如何正确地将一个方程式放入相应的R formula格式中。

R的trees数据集可以用作示例。

data(trees)
df <- trees
df$h <- df$Height * 0.3048   #transform to metric system
df$dbh <- (trees$Girth * 0.3048) / pi   #transform tree girth to diameter

首先，似乎运作良好的等式的例子：

form1 <- h ~ I(dbh ^ -1) + I( dbh ^ 2)  
m1 <- lm(form1, data = df)
m1

Call:
lm(formula = form1, data = df)

Coefficients:
(Intercept)    I(dbh^-1)     I(dbh^2)  
27.1147      -5.0553       0.1124  

估计系数a ， b和c ，这是我们感兴趣的。

现在有问题的等式：

试着像这样适合它：

form2 <- h ~ I(dbh ^ 2) / dbh + I(dbh ^ 2) + 1.3

给出错误：

m1 <- lm(form2, data = df)
Error in terms.formula(formula, data = data) 
invalid model formula in ExtractVars

我想这是因为/被解释为嵌套模型而不是算术运算符？

这不会出错：

form2 <- h ~ I(I(dbh ^ 2) / dbh + I(dbh ^ 2) + 1.3)
m1 <- lm(form2, data = df)

但结果不是我们想要的结果：

m1
Call:
lm(formula = form2, data = df)

Coefficients:
(Intercept)  I(I(dbh^2)/dbh + I(dbh^2) + 1.3)  
19.3883                            0.8727  

外部I()的整个项只给出一个系数，这似乎是逻辑。

我们如何才能将第二个方程拟合到我们的数据中？

Answer 1

你有几个问题。 （1）你丢失了form2的分母的括号（并且R无法知道你想在分母中添加常数a ，或者确实放置任何参数的位置），而且更有问题： （2）你的第二个模型不是线性的 ，所以lm不起作用。

修复（1）很容易：

form2 <- h ~ 1.3 + I(dbh^2) / (a + b * dbh + c * I(dbh^2))

修复（2），尽管有很多方法可以估算非线性模型的参数，但是nls （非线性最小二乘）是一个很好的起点：

m2 <- nls(form2, data = df, start = list(a = 1, b = 1, c = 1))

您需要在nls提供参数的起始猜测。 我只选了1，但你应该使用更好的猜测来确定参数可能是什么。

Answer 2

假设您正在使用nls ，R公式可以使用普通的R函数H(a, b, c, D) ，因此公式可以只是h ~ H(a, b, c, dbh) ，这h ~ H(a, b, c, dbh) ：

# use lm to get startingf values
lm1 <- lm(1/(h - 1.3) ~ I(1/dbh) + I(1/dbh^2), df)
start <- rev(setNames(coef(lm1), c("c", "b", "a")))

# run nls
H <- function(a, b, c, D) 1.3 + D^2 / (a + b * D + c * D^2)
nls1 <- nls(h ~ H(a, b, c, dbh), df, start = start)

nls1 # display result

绘制输出图：

plot(h ~ dbh, df)
lines(fitted(nls1) ~ dbh, df)

Answer 3

编辑 ： 修复，不再错误地使用偏移...

一个补充@ shujaa的答案：

你可以改变你的问题

H = 1.3 + D^2/(a+b*D+c*D^2)

至

1/(H-1.3) = a/D^2+b/D+c

这通常会弄乱模型的假设（即，如果H通常以恒定方差分布，那么1/(H-1.3)就不会。但是，让我们尝试一下：

data(trees)
df <- transform(trees,
            h=Height * 0.3048,   #transform to metric system
            dbh=Girth * 0.3048 / pi   #transform tree girth to diameter
            )
lm(1/(h-1.3) ~ poly(I(1/dbh),2,raw=TRUE),data=df)

## Coefficients:
##                    (Intercept)  poly(I(1/dbh), 2, raw = TRUE)1  
##                       0.043502                       -0.006136  
## poly(I(1/dbh), 2, raw = TRUE)2  
##                       0.010792  

这些结果通常足以获得nls拟合的良好起始值。 但是，你可以通过glm做得更好， glm使用链接功能来允许某些形式的非线性。 特别，

(fit2 <- glm(h-1.3 ~ poly(I(1/dbh),2,raw=TRUE),
             family=gaussian(link="inverse"),data=df))

## Coefficients:
##                    (Intercept)  poly(I(1/dbh), 2, raw = TRUE)1  
##                       0.041795                       -0.002119  
## poly(I(1/dbh), 2, raw = TRUE)2  
##                       0.008175  
## 
## Degrees of Freedom: 30 Total (i.e. Null);  28 Residual
## Null Deviance:       113.2 
## Residual Deviance: 80.05     AIC: 125.4 
## 

您可以看到结果与线性拟合大致相同，但并不完全相同。

pframe <- data.frame(dbh=seq(0.8,2,length=51))

我们使用predict ，但需要更正预测以解释我们从LHS中减去一个常数的事实：

pframe$h <- predict(fit2,newdata=pframe,type="response")+1.3
p2 <- predict(fit2,newdata=pframe,se.fit=TRUE) ## predict on link scale
pframe$h_lwr <- with(p2,1/(fit+1.96*se.fit))+1.3
pframe$h_upr <- with(p2,1/(fit-1.96*se.fit))+1.3
png("dbh_tmp1.png",height=4,width=6,units="in",res=150)
par(las=1,bty="l")
plot(h~dbh,data=df)
with(pframe,lines(dbh,h,col=2))
with(pframe,polygon(c(dbh,rev(dbh)),c(h_lwr,rev(h_upr)),
      border=NA,col=adjustcolor("black",alpha=0.3)))
dev.off()

因为我们在LHS上使用了常量（这几乎，但不完全适合使用偏移的框架 - 如果我们的公式为1/H - 1.3 = a/D^2 + ...我们只能使用偏移量1/H - 1.3 = a/D^2 + ... ，即如果常量调整是在链接（反向）比例而不是原始比例），这不完全适合ggplot的geom_smooth框架

library("ggplot2")
ggplot(df,aes(dbh,h))+geom_point()+theme_bw()+
   geom_line(data=pframe,colour="red")+
   geom_ribbon(data=pframe,colour=NA,alpha=0.3,
             aes(ymin=h_lwr,ymax=h_upr))

ggsave("dbh_tmp2.png",height=4,width=6)