可被 3 整除的二进制数的正则表达式

Question

我在自学正则表达式，在网上发现了一个有趣的练习题，就是写一个正则表达式来识别所有可以被 3 整除的二进制数（并且只有这样的数）。 老实说，问题要求为这种情况构建 DFA，但我认为使用正则表达式应该等效。

我知道有一个小规则来确定一个二进制数是否可以被 3 整除：取数字中偶数位的 1 数，然后减去数字中奇数位的 1 数 - 如果这等于零，该数字可被 3 整除（例如：110 - 1 在偶数 2 插槽中，1 在奇数 1 插槽中）。 但是，我在将其调整为正则表达式时遇到了一些麻烦。

我最接近的是意识到数字可以是 0，所以这将是第一个状态。 我还看到所有可被 3 整除的二进制数都以 1 开头，因此这将是第二种状态，但我被困在那里。 有人可以帮忙吗？

Answer 1

按照 Oli Charlesworth 所说的，您可以构建 DFA 以将基数b数除以某个除数d ，其中 DFA 中的状态代表除法的余数。

对于您的情况（基数 2 - 二进制数，除数d = 3 ₁₀ ）：

请注意，上面的 DFA 接受空字符串作为可被 3 整除的“数字”。这可以通过在前面再添加一个中间状态来轻松解决：

转换为理论正则表达式可以用正常的过程完成。

获得 DFA 后，可以轻松转换为支持递归正则表达式的风格的实用正则表达式。 这在 CodeGolf.SE 的这个问题中的 (base b = 10, d = 7 ₁₀ ) 的情况下显示。

让我引用Lowjacker 的答案中的正则表达式，用 Ruby 正则表达式编写：

(?!$)(?>(|(?<B>4\g<A>|5\g<B>|6\g<C>|[07]\g<D>|[18]\g<E>|[29]\g<F>|3\g<G>))(|(?<C>[18]\g<A>|[29]\g<B>|3\g<C>|4\g<D>|5\g<E>|6\g<F>|[07]\g<G>))(|(?<D>5\g<A>|6\g<B>|[07]\g<C>|[18]\g<D>|[29]\g<E>|3\g<F>|4\g<G>))(|(?<E>[29]\g<A>|3\g<B>|4\g<C>|5\g<D>|6\g<E>|[07]\g<F>|[18]\g<G>))(|(?<F>6\g<A>|[07]\g<B>|[18]\g<C>|[29]\g<D>|3\g<E>|4\g<F>|5\g<G>))(|(?<G>3\g<A>|4\g<B>|5\g<C>|6\g<D>|[07]\g<E>|[18]\g<F>|[29]\g<G>)))(?<A>$|[07]\g<A>|[18]\g<B>|[29]\g<C>|3\g<D>|4\g<E>|5\g<F>|6\g<G>)

分解它，您可以看到它是如何构建的。 原子分组（或非回溯组，或具有所有格行为的组）用于确保仅匹配空字符串替代项。 这是在 Perl 中模拟(?DEFINE)的技巧。 那么当数字除以7时，组A到G对应于0到6的余数。

(?!$)
(?>
  (|(?<B>4   \g<A>|5   \g<B>|6   \g<C>|[07]\g<D>|[18]\g<E>|[29]\g<F>|3   \g<G>))
  (|(?<C>[18]\g<A>|[29]\g<B>|3   \g<C>|4   \g<D>|5   \g<E>|6   \g<F>|[07]\g<G>))
  (|(?<D>5   \g<A>|6   \g<B>|[07]\g<C>|[18]\g<D>|[29]\g<E>|3   \g<F>|4   \g<G>))
  (|(?<E>[29]\g<A>|3   \g<B>|4   \g<C>|5   \g<D>|6   \g<E>|[07]\g<F>|[18]\g<G>))
  (|(?<F>6   \g<A>|[07]\g<B>|[18]\g<C>|[29]\g<D>|3   \g<E>|4   \g<F>|5   \g<G>))
  (|(?<G>3   \g<A>|4   \g<B>|5   \g<C>|6   \g<D>|[07]\g<E>|[18]\g<F>|[29]\g<G>))
)
(?<A>$|  [07]\g<A>|[18]\g<B>|[29]\g<C>|3   \g<D>|4   \g<E>|5   \g<F>|6   \g<G>)

Answer 2

我有另一种方法来解决这个问题，我认为这更容易理解。 当我们将一个数除以 3 时，我们可以得到三个余数：0、1、2。我们可以使用表达式3t （ t是自然数）来描述一个可以被 3 整除的数。

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当我们在余数为 0 的二进制数后加 0 时，实际的十进制数将翻倍。 因为每个数字都在向更高的位置移动。 3t * 2 = 6t ，这也可以被 3 整除。

当我们在余数为 0 的二进制数后加 1 时，实际的十进制数会加倍加 1。 3t * 2 + 1 = 6t + 1 ，余数为1。

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当我们在余数为1的二进制数后加1时，实际的十进制数会加一加一，余数为0； (3t + 1)*2 + 1 = 6t + 3 = 3(2t + 1) ，这可以被 3 整除。

当我们在余数为 1 的二进制数后加 0 时，实际的十进制数将被加倍。 余数将是 2. (3t + 1)*2 = 6t + 2 。

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当我们在余数为 2 的二进制数后加 0 时，余数为 1。 (3t + 2)*2 = 6t + 4 = 3(2t + 1) + 1

当我们在余数为 2 的二进制数后加 1 时，余数仍为 2。 (3t + 2)*2 + 1 = 6t + 5 = 3(2t + 1) + 2.

无论余数为 2 的二进制数加多少 1，余数永远为 2。 (3(2t + 1) + 2)*2 + 1 = 3(4t + 2) + 5 = 3(4t + 3) + 2

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所以我们可以用 DFA 来描述二进制数：

注意：边q2 -> q1应标记为 0。

Answer 3

可被 3 整除的二进制数分为 3 类：

1. 有两个连续的 1 或两个 1 被偶数个 0 分隔的数字。 实际上，每一对都“取消”了自己。

(例如 11, 110, 1100,1001,10010, 1111)

（十进制：3、6、12、9、18、15）

2. 三个 1 由奇数个 0 分隔的数字。 这些三胞胎也“取消”了自己。

（例如 10101、101010、1010001、1000101）

（十进制：21、42、81、69）

3. 前两条规则的某种组合（包括彼此内部）

（例如 1010111、1110101、1011100110001）

（十进制：87、117、5937）

因此，考虑到这三个规则的正则表达式很简单：

0*(1(00)*10*|10(00)*1(00)*(11)*0(00)*10*)*0*

如何阅读：

() 封装

* 表示前一个号码/组是可选的

| 表示括号内任一侧的选项选择

Answer 4

您遇到的问题是，虽然您的技巧（可能）是有效的，但它并没有映射到实际的 DFA（您必须跟踪偶数和奇数之间的潜在任意差异，这需要任意数字状态）。

另一种方法是注意（从 MSB 到 LSB）在第i个字符x[i] ，您的子字符串在模 3 算术中必须等于 0、1 或 2； 将此值称为S[i] 。 x[i+1]必须是 0 或 1，这相当于乘以 2 并可选地加 1。

因此，如果您知道S[i]和x[i+1] ，则可以计算S[i+1] 。 这个描述听起来是不是很熟悉？