浮点算术和机器epsilon

Question

我正在尝试计算float类型的epsilon值的近似值（我知道它已经在标准库中）。

这台机器上的epsilon值是（用一些近似值打印）：

 FLT_EPSILON = 1.192093e-07
 DBL_EPSILON = 2.220446e-16
LDBL_EPSILON = 1.084202e-19

FLT_EVAL_METHOD为2所以一切都以long double精度完成， float ， double和long double分别为32,64和96位。

我试图从1开始得到一个近似值并将其除以2直到它变得太小，用float类型执行所有操作：

# include <stdio.h>

int main(void)
{
    float floatEps = 1;

    while (1 + floatEps / 2 != 1)
        floatEps /= 2;

    printf("float eps = %e\n", floatEps);
}

输出不是我想要的：

float epsilon = 1.084202e-19

中间操作以最高精度完成（由于FLT_EVAL_METHOD的值），因此这个结果似乎是合法的。

但是，这个：

// 2.0 is a double literal
while ((float) (1 + floatEps / 2.0) != 1)
    floatEps /= 2;

给出这个输出，这是正确的：

float epsilon = 1.192093e-07

但是这一个：

// no double literals
while ((float) (1 + floatEps / 2) != 1)
    floatEps /= 2;

再次导致错误的结果，作为第一个：

float epsilon = 1.084202e-19

这最后两个版本在这个平台上应该是等价的，这是一个编译器错误吗？ 如果没有，发生了什么？

代码编译为：

gcc -O0 -std=c99 -pedantic file.c

gcc版本很老了，但是我在大学时无法更新它：

$ gcc -v
Using built-in specs.
Target: i486-linux-gnu
Configured with: ../src/configure -v --with-pkgversion='Debian 4.4.5-8'
--with-bugurl=file:///usr/share/doc/gcc-4.4/README.Bugs
--enable-languages=c,c++,fortran,objc,obj-c++ --prefix=/usr --program-suffix=-4.4
--enable-shared --enable-multiarch --enable-linker-build-id --with-system-zlib
--libexecdir=/usr/lib --without-included-gettext --enable-threads=posix
--with-gxx-include-dir=/usr/include/c++/4.4 --libdir=/usr/lib --enable-nls
--enable-clocale=gnu --enable-libstdcxx-debug --enable-objc-gc
--enable-targets=all --with-arch-32=i586 --with-tune=generic
--enable-checking=release --build=i486-linux-gnu --host=i486-linux-gnu
--target=i486-linux-gnu
Thread model: posix
gcc version 4.4.5 (Debian 4.4.5-8)

当前版本的gcc 4.7在我的家用计算机上运行正常。 还有评论说不同的版本会给出不同的结果。

在得到一些答案和评论之后，我澄清了什么是预期的行为，什么不是，我改变了一些问题以使其更清楚。

Answer 1

允许编译器以任何更大的精度计算float表达式，因此看起来第一个表达式以long double precision计算。 在第二个表达式中，您强制将结果缩小到再次float 。

在回答您的一些其他问题和下面的讨论时：您基本上是在寻找一些浮点类型中最小的非零差异。 根据FLT_EVAL_METHOD的设置，编译器可能决定以比所涉及的类型更高的精度评估所有浮点表达式。 在奔腾上，传统上浮点单元的内部寄存器是80位，并且对于所有较小的浮点类型使用该精度很方便。 所以最后你的测试取决于比较的精度!= 。 在没有显式强制转换的情况下，此比较的精度由编译器确定，而不是由您的代码确定。 通过显式转换，您可以将比较缩小到您想要的类型。

当您确认编译器已将FLT_EVAL_METHOD设置为2 ，它将使用最高精度进行任何浮点计算。

作为下面讨论的结论，我们有信心地说，在版本4.5之前的gcc存在与FLT_EVAL_METHOD=2案例的实现相关的错误，并且至少从版本4.6修复了该错误。 如果在表达式中使用整数常量2而不是浮点常量2.0 ，则在生成的程序集中省略了转换为float 。 值得注意的是，从优化级别-O1 ，在这些较旧的编译器上生成了正确的结果，但生成的程序集完全不同，并且只包含很少的浮点运算。

Answer 2

C99 C编译器可以评估浮点表达式，就好像它们的浮点类型比实际类型更精确。

宏FLT_EVAL_METHOD由编译器设置以指示策略：

-1不确定;

0仅根据类型的范围和精度评估所有操作和常量;

1计算float类型的操作和常量以及double类型的范围和精度，将long double操作和常量计算为long double类型的范围和精度;

2评估long double类型的范围和精度的所有操作和常量。

由于历史原因，针对x86处理器时的两个常见选择是0和2。

文件mc是你的第一个程序。 如果我使用我的编译器编译它，那么，我得到：

$ gcc -std=c99 -mfpmath=387 m.c
$ ./a.out 
float eps = 1.084202e-19
$ gcc -std=c99  m.c
$ ./a.out 
float eps = 1.192093e-07

如果我在下面编译这个其他程序，编译器会根据它的作用设置宏：

#include <stdio.h>
#include <float.h>

int main(){
  printf("%d\n", FLT_EVAL_METHOD);
}

结果：

$ gcc -std=c99 -mfpmath=387 t.c
$ ./a.out 
2
$ gcc -std=c99 t.c
$ ./a.out 
0