长度为k的增加子序列的数量

Question

我试图理解算法，它给出了时间O（n k log（n））中数组中长度K的增加子序列的数量。 我知道如何使用O（k * n ^ 2）算法解决同样的问题。 我查了一下，发现这个解决方案使用了BIT（Fenwick Tree）和DP。 我也找到了一些代码，但我无法理解它。

以下是我访问过的一些有用的链接。

在这里
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如果有人能帮助我理解这个算法，我真的很感激。

Answer 1

我从这里复制我的算法，其逻辑解释如下：

dp[i, j] = same as before num[i] = how many subsequences that end with i (element, not index this time) 
         have a certain length

for i = 1 to n do   dp[i, 1] = 1

for p = 2 to k do // for each length this time   num = {0}

  for i = 2 to n do
    // note: dp[1, p > 1] = 0 

    // how many that end with the previous element
    // have length p - 1
    num[ array[i - 1] ] += dp[i - 1, p - 1] *1*   

    // append the current element to all those smaller than it
    // that end an increasing subsequence of length p - 1,
    // creating an increasing subsequence of length p
    for j = 1 to array[i] - 1 do *2*       
      dp[i, p] += num[j]

您可以使用段树或二进制索引树来优化*1*和*2* 。 这些将用于在num数组上有效地处理以下操作：

• 给定(x, v)将v加到num[x] （与*1*相关）;
• 给定x ，找到总和num[1] + num[2] + ... + num[x] （与*2*相关）。

这些对于两种数据结构都是微不足道的问题。

注意：这将具有复杂度O(n*k*log S) ，其中S是数组中值的上限。 这可能是也可能不够好。 要使其为O(n*k*log n) ，您需要在运行上述算法之前规范化数组的值。 规范化意味着将所有数组值转换为小于或等于n 。 所以这：

5235 223 1000 40 40

变为：

4 2 3 1 1

这可以通过排序（保留原始索引）来完成。