需要一种算法来找到元素子集中的最小成本

Question

我试图找到一种最佳算法，该算法可以找到最大的子集，其中元素的总和最低，同时覆盖所有元素。

例如：-想象ABC是零售商，WXYZ是产品，目标是最大程度地减少访问量并降低价格。

    A    B    C
W   4    9    2  
X   1    3    4 
Y   9    3    9
Z   7    1    1 

So it appears my top two choices are 
a) B:{XYZ} - 7   C:{W} - 2
b) C:{WXZ} - 7   B:{Y} - 3 

So a) is picked because since it has a lower cost, i.e 9. 

这个问题似乎与顶点覆盖和其他线性编程算法相似，但是我找不到正确的问题。

更新：

看来我需要添加其他变量。 介绍t。 如果拜访最少的零售商而拜访最少的零售商的成本> t，则选择下一个零售商。

Continuing with the example.

say t = 5,

The largest subset containing all elements would be B:{WXYZ} with a cost of 16. 
The next largest subset(s) is B:{XYZ} - 7   C:{W} - 2 with a cost of 9. 

t = 16 - 9 > 5. So we pick B:{XYZ} - 7   C:{W} - 2 

but if we did A:{X}, B:{Y}, C:{WZ} - 5, t = 9 - 5 < 5. 

So B:{XYZ} - 7   C:{W} - 2 is picked

真的，我只是想知道是否已经有适合这种模式的算法。 我不能成为第一个需要这种优化的人。

Answer 1

您有两个目标的问题-1.最小化产品的总体成本降低，并且2.最小化拜访的商店数量。 （@btilly的评论正确地显示了两个相互竞争的解决方案。）

在这些类型的Integer编程问题中，多个目标相当普遍。 请参阅MCDM 。 要解决此问题，您需要使用两种类型的成本（目前只有一种）。

1. 从零售商r（已指定）购买产品p的成本C_rp
2. 拜访零售商的费用： C_r

直觉：如果C_r非常高，那么我们将向一家零售商购买所有产品。 如果C_r很小，那么我们会去多家零售商，并从最便宜地出售它的人那里购买。

您的问题可以建模为“ 分配问题 ”的变体。 另外，如果需要更多参考，请阅读所谓的fixed-charge transportation problems （FCTP）。 （一次拜访零售商需要支付一定的费用。）

接下来是Integer编程公式：

决策变量

  Binary
  X_rp = if product p is purchased from retailer r, 0 otherwise 
  Y_r = 1 if retailer r is visited, 0 otherwise 

目标功能

 Min C_rp X_rp + C_r Y_r

约束

(Sum over r) X_rp = 1 for all p (Every product must be bought from some retailer)

接下来，即使该零售商的X_rp之一甚至为1，我们也要确保Y_r为1。 通常，我们会采用Big M方法，但是在此问题上更容易实现。

X_rp <= Y_r  for all p, for all r. 

如果X变量中的任何一个变为1，则强制Y_r变为1。模型将支付价格C_r。

要解决，您可以使用任何LP解算器。 好消息是问题具有完整性，这意味着即使使用线性编程求解技术，也自然会出现整数解。

希望能有所帮助。