多项式拟合matlab对系数有一些约束

Question

我有数据，我应该插入一个必须是以下类型的函数：

f(x) = ax 4 + bx 2 + c

a > 0且b ≤ 0 。 不幸的是，MATLAB的polyfit不允许对多项式的系数进行任何约束。 有人知道是否有MATLAB功能吗？ 否则，我该如何实现它？

非常感谢你提前，

伊丽莎白

Answer 1

您可以尝试使用fminsearch ， fminunc手动定义目标函数。

或者，您可以将问题定义为略有不同：

f(x) = a 2 x 4 - b 2 x 2 + c

现在，新的a和b可以在没有约束的情况下进行优化，同时确保您正在寻找的最终a和b是正数（负分别）。

Answer 2

没有约束，问题可以作为简单的线性系统编写和解决：

% Your design matrix ([4 2 0] are the powers of the polynomial)
A = bsxfun(@power, your_X_data(:), [4 2 0]);

% Best estimate for the coefficients, [a b c], found by 
% solving A*[a b c]' = y in a least-squares sense
abc = A\your_Y_data(:)

如果约束模型确实是您数据的基础，那么这些约束当然会自动得到满足。 例如，

% some example factors
a = +23.9;
b = -15.75;
c = 4;

% Your model
f = @(x, F) F(1)*x.^4 + F(2)*x.^2 + F(3);

% generate some noisy XY data
x = -1:0.01:1;
y = f(x, [a b c]) + randn(size(x));

% Best unconstrained estimate a, b and c from the data
A = bsxfun(@power, x(:), [4 2 0]);
abc = A\y(:);

% Plot results
plot(x,y, 'b'), hold on
plot(x, f(x, abc), 'r')
xlabel('x (nodes)'), ylabel('y (data)')

但是，如果对受约束模型未准确描述的数据施加约束，则可能会出现问题：

% Note: same data, but flipped signs 
a = -23.9;
b = +15.75;
c = 4;

f = @(x, F) F(1)*x.^4 + F(2)*x.^2 + F(3);

% generate some noisy XY data
x = -1:0.01:1;
y = f(x, [a b c]) + randn(size(x));

% Estimate a, b and c from the data, Forcing a>0 and b<0
abc = fmincon(@(Y) sum((f(x,Y)-y).^2), [0 0 0], [-1 0 0; 0 +1 0; 0 0 0], zeros(3,1));

% Plot results
plot(x,y, 'b'), hold on
plot(x, f(x, abc), 'r')
xlabel('x (nodes)'), ylabel('y (data)')

（此解决方案具有a == 0 ，表示模型选择不正确）。

如果a == 0的完全相等是一个问题：如果设置a == eps(0) ，当然没有区别。 从数字上看，这对于真实世界的数据来说并不明显，但它仍然是非零的。

无论如何，我怀疑你的模型没有很好地选择，并且约束是一个“修复”以使一切正常工作，或者你的数据在尝试做任何适合之前实际上应该是无偏/重新调整的，或者某些类似的前提条件适用（我经常看到人们做这种事情，所以是的，我在这方面有点偏颇:)。

那么......这些限制背后的真正原因是什么？

Answer 3

如果您有曲线拟合工具箱，那么拟合允许使用“上”和“下”选项设置约束。 你会想要类似的东西。

M=fit(x, f, 'poly4', 'upper', [-inf, 0, -inf, 0, -inf], 'lower', [0, 0, 0, 0, -inf]);

注意使用-inf将特定系数设置为不受约束。

这将给出具有相关系数的cfit对象。 您可以使用例如M.p1来访问这些x ^ 4项。 或者，您可以使用feval在任何您想要的点评估函数。

我认为你也可以在优化工具箱中使用lsqcurvefit做类似的事情。