为什么MATLAB / Octave在特征值问题中用C ++擦拭地板？

Question

我希望标题中的问题的答案是我做了一些愚蠢的事情！

这是问题所在。 我想计算一个真实对称矩阵的所有特征值和特征向量。 我已经使用GNU Scientific Library在MATLAB中实现了代码（实际上，我使用Octave运行它）和C ++。 我在下面提供了完整的代码用于两种实现。

据我所知，GSL带有自己的BLAS API实现，（以下我将其称为GSLCBLAS）并使用我使用以下编译的库：

g++ -O3 -lgsl -lgslcblas

GSL表明这里使用替代BLAS库，如自我优化ATLAS库，以提高性能。 我正在运行Ubuntu 12.04，并已从Ubuntu存储库安装了ATLAS软件包。 在这种情况下，我编译使用：

g++ -O3 -lgsl -lcblas -latlas -lm

对于所有三种情况，我已经使用随机生成的大小为100到1000的矩阵进行了实验，步长为100.对于每个大小，我执行10个具有不同矩阵的特征分解，并平均所花费的时间。 结果如下：

性能上的差异是荒谬的。 对于大小为1000的矩阵，Octave在一秒钟内执行分解; GSLCBLAS和ATLAS大约需要25秒。

我怀疑我可能错误地使用了ATLAS库。 欢迎任何解释; 提前致谢。

关于代码的一些注意事项：

• 在C ++实现中，不需要使矩阵对称，因为该函数仅使用它的下三角部分 。

• 在Octave中，行triu(A) + triu(A, 1)'强制矩阵是对称的。

• 如果您希望编译自己的Linux机器的C ++代码，还需要添加标志-lrt ，因为clock_gettime函数。

• 不幸的是，我不认为clock_gettime在其他平台上退出。 考虑将其更改为gettimeofday 。

八度代码

K = 10;

fileID = fopen('octave_out.txt','w');

for N = 100:100:1000
    AverageTime = 0.0;

    for k = 1:K
        A = randn(N, N);
        A = triu(A) + triu(A, 1)';
        tic;
        eig(A);
        AverageTime = AverageTime + toc/K;
    end

    disp([num2str(N), " ", num2str(AverageTime), "\n"]);
    fprintf(fileID, '%d %f\n', N, AverageTime);
end

fclose(fileID);

C ++代码

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <time.h>

#include <gsl/gsl_rng.h>
#include <gsl/gsl_randist.h>
#include <gsl/gsl_eigen.h>
#include <gsl/gsl_vector.h>
#include <gsl/gsl_matrix.h>

int main()
{
    const int K = 10;

    gsl_rng * RandomNumberGenerator = gsl_rng_alloc(gsl_rng_default);
    gsl_rng_set(RandomNumberGenerator, 0);

    std::ofstream OutputFile("atlas.txt", std::ios::trunc);

    for (int N = 100; N <= 1000; N += 100)
    {
        gsl_matrix* A = gsl_matrix_alloc(N, N);
        gsl_eigen_symmv_workspace* EigendecompositionWorkspace = gsl_eigen_symmv_alloc(N);
        gsl_vector* Eigenvalues = gsl_vector_alloc(N);
        gsl_matrix* Eigenvectors = gsl_matrix_alloc(N, N);

        double AverageTime = 0.0;
        for (int k = 0; k < K; k++)
        {   
            for (int i = 0; i < N; i++)
            {
                for (int j = 0; j < N; j++)
                {
                    gsl_matrix_set(A, i, j, gsl_ran_gaussian(RandomNumberGenerator, 1.0));
                }
            }

            timespec start, end;
            clock_gettime(CLOCK_MONOTONIC_RAW, &start);

            gsl_eigen_symmv(A, Eigenvalues, Eigenvectors, EigendecompositionWorkspace);

            clock_gettime(CLOCK_MONOTONIC_RAW, &end);
            double TimeElapsed = (double) ((1e9*end.tv_sec + end.tv_nsec) - (1e9*start.tv_sec + start.tv_nsec))/1.0e9;
            AverageTime += TimeElapsed/K;
            std::cout << "N = " << N << ", k = " << k << ", Time = " << TimeElapsed << std::endl;
        }
        OutputFile << N << " " << AverageTime << std::endl;

        gsl_matrix_free(A);
        gsl_eigen_symmv_free(EigendecompositionWorkspace);
        gsl_vector_free(Eigenvalues);
        gsl_matrix_free(Eigenvectors);
    }

    return 0;
}

Answer 1

我不同意上一篇文章。 这不是一个线程问题，这是一个算法问题。 matlab，R和octave用C ++库擦拭地板的原因是因为他们的C ++库使用更复杂，更好的算法。 如果您阅读八度页面，您可以找到他们做的事情[1]：

特征值是在几步过程中计算的，该过程以Hessenberg分解开始，然后是Schur分解，特征值是明显的。 当需要时，通过进一步操纵Schur分解来计算特征向量。

解决特征值/特征向量问题并非易事。 事实上，它是“C中的数字食谱”中为数不多的东西之一，建议你不要自己实现。 （P461）。 GSL通常很慢，这是我最初的回应。 ALGLIB的标准实现速度也很慢（我大约需要12秒！）：

#include <iostream>
#include <iomanip>
#include <ctime>

#include <linalg.h>

using std::cout;
using std::setw;
using std::endl;

const int VERBOSE = false;

int main(int argc, char** argv)
{

    int size = 0;
    if(argc != 2) {
        cout << "Please provide a size of input" << endl;
        return -1;
    } else {
        size = atoi(argv[1]);
        cout << "Array Size: " << size << endl;
    }

    alglib::real_2d_array mat;
    alglib::hqrndstate state;
    alglib::hqrndrandomize(state);
    mat.setlength(size, size);
    for(int rr = 0 ; rr < mat.rows(); rr++) {
        for(int cc = 0 ; cc < mat.cols(); cc++) {
            mat[rr][cc] = mat[cc][rr] = alglib::hqrndnormal(state);
        }
    }

    if(VERBOSE) {
        cout << "Matrix: " << endl;
        for(int rr = 0 ; rr < mat.rows(); rr++) {
            for(int cc = 0 ; cc < mat.cols(); cc++) {
                cout << setw(10) << mat[rr][cc];
            }
            cout << endl;
        }
        cout << endl;
    }

    alglib::real_1d_array d;
    alglib::real_2d_array z;
    auto t = clock();
    alglib::smatrixevd(mat, mat.rows(), 1, 0, d, z);
    t = clock() - t;

    cout << (double)t/CLOCKS_PER_SEC << "s" << endl;

    if(VERBOSE) {
        for(int cc = 0 ; cc < mat.cols(); cc++) {
            cout << "lambda: " << d[cc] << endl;
            cout << "V: ";
            for(int rr = 0 ; rr < mat.rows(); rr++) {
                cout << setw(10) << z[rr][cc];
            }
            cout << endl;
        }
    }
}

如果你真的需要一个快速的库，可能需要做一些真正的狩猎。

[1] http://www.gnu.org/software/octave/doc/interpreter/Basic-Matrix-Functions.html

Answer 2

我也遇到过这个问题。 真正的原因是matlab中的eig（）不计算特征向量，但上面的C版本代码确实如此。 所花费的时间差异可能大于一个数量级，如下图所示。 所以比较不公平。

在Matlab中，根据返回值，调用的实际函数将是不同的。 要强制计算特征向量，应使用[V，D] = eig（A） （参见下面的代码）。

计算特征值问题的实际时间在很大程度上取决于矩阵属性和所需的结果，例如

• 真实的或复杂的
• Hermitian / Symmetric与否
• 密集或稀疏
• 仅特征值，特征向量，仅最大特征值等
• 串行或并行

有针对上述每种情况优化的算法。 在gsl中，这些算法是手动选取的 ，因此错误的选择会显着降低性能。 某些C ++包装类或某些语言（如matlab和mathematica）将通过某些方法选择优化版本。

此外，Matlab和Mathematica使用了并行化。 根据机器的不同，这些进一步扩大了您看到的差距几次。 可以合理地说，一般复数1000x1000的特征值和特征向量的计算大约是秒和10秒，没有并行化。

图。比较Matlab和C.“+ vec”表示代码包括特征向量的计算。 CPU％是对N = 1000的CPU使用率的粗略观察，其上限​​为800％，尽管它们应该完全使用所有8个核心。 Matlab和C之间的差距小于8倍。

图。比较Mathematica中的不同矩阵类型。 算法自动选择算法。

Matlab（与特征向量的计算）

K = 10;

fileID = fopen('octave_out.txt','w');

for N = 100:100:1000
    AverageTime = 0.0;

    for k = 1:K
        A = randn(N, N);
        A = triu(A) + triu(A, 1)';
        tic;
        [V,D] = eig(A);
        AverageTime = AverageTime + toc/K;
    end

    disp([num2str(N), ' ', num2str(AverageTime), '\n']);
    fprintf(fileID, '%d %f\n', N, AverageTime);
end

fclose(fileID);

C ++（没有特征向量的计算）

#include <iostream>
#include <fstream>
#include <time.h>

#include <gsl/gsl_rng.h>
#include <gsl/gsl_randist.h>
#include <gsl/gsl_eigen.h>
#include <gsl/gsl_vector.h>
#include <gsl/gsl_matrix.h>

int main()
{
    const int K = 10;

    gsl_rng * RandomNumberGenerator = gsl_rng_alloc(gsl_rng_default);
    gsl_rng_set(RandomNumberGenerator, 0);

    std::ofstream OutputFile("atlas.txt", std::ios::trunc);

    for (int N = 100; N <= 1000; N += 100)
    {
        gsl_matrix* A = gsl_matrix_alloc(N, N);
        gsl_eigen_symm_workspace* EigendecompositionWorkspace = gsl_eigen_symm_alloc(N);
        gsl_vector* Eigenvalues = gsl_vector_alloc(N);

        double AverageTime = 0.0;
        for (int k = 0; k < K; k++)
        {   
            for (int i = 0; i < N; i++)
            {
                for (int j = i; j < N; j++)
                {
                    double rn = gsl_ran_gaussian(RandomNumberGenerator, 1.0);
                    gsl_matrix_set(A, i, j, rn);
                    gsl_matrix_set(A, j, i, rn);
                }
            }

            timespec start, end;
            clock_gettime(CLOCK_MONOTONIC_RAW, &start);

            gsl_eigen_symm(A, Eigenvalues, EigendecompositionWorkspace);

            clock_gettime(CLOCK_MONOTONIC_RAW, &end);
            double TimeElapsed = (double) ((1e9*end.tv_sec + end.tv_nsec) - (1e9*start.tv_sec + start.tv_nsec))/1.0e9;
            AverageTime += TimeElapsed/K;
            std::cout << "N = " << N << ", k = " << k << ", Time = " << TimeElapsed << std::endl;
        }
        OutputFile << N << " " << AverageTime << std::endl;

        gsl_matrix_free(A);
        gsl_eigen_symm_free(EigendecompositionWorkspace);
        gsl_vector_free(Eigenvalues);
    }

    return 0;
}

数学

(* Symmetric real matrix + eigenvectors *)
Table[{NN, Mean[Table[(
     M = Table[Random[], {i, NN}, {j, NN}];
     M = M + Transpose[Conjugate[M]];
     AbsoluteTiming[Eigensystem[M]][[1]]
     ), {K, 10}]]
  }, {NN, Range[100, 1000, 100]}]

(* Symmetric real matrix *)
Table[{NN, Mean[Table[(
     M = Table[Random[], {i, NN}, {j, NN}];
     M = M + Transpose[Conjugate[M]];
     AbsoluteTiming[Eigenvalues[M]][[1]]
     ), {K, 10}]]
  }, {NN, Range[100, 1000, 100]}]

(* Asymmetric real matrix *)
Table[{NN, Mean[Table[(
     M = Table[Random[], {i, NN}, {j, NN}];
     AbsoluteTiming[Eigenvalues[M]][[1]]
     ), {K, 10}]]
  }, {NN, Range[100, 1000, 100]}]

(* Hermitian matrix *)
Table[{NN, Mean[Table[(
     M = Table[Random[] + I Random[], {i, NN}, {j, NN}];
     M = M + Transpose[Conjugate[M]];
     AbsoluteTiming[Eigenvalues[M]][[1]]
     ), {K, 10}]]
  }, {NN, Range[100, 1000, 100]}]

(* Random complex matrix *)
Table[{NN, Mean[Table[(
     M = Table[Random[] + I Random[], {i, NN}, {j, NN}];
     AbsoluteTiming[Eigenvalues[M]][[1]]
     ), {K, 10}]]
  }, {NN, Range[100, 1000, 100]}]

Answer 3

在C ++实现中，不需要使矩阵对称，因为该函数仅使用它的下三角部分。

情况可能并非如此。 在参考文献中 ，声明：

int gsl_eigen_symmv（gsl_matrix * A，gsl_vector * eval，gsl_matrix * evec，gsl_eigen_symmv_workspace * w）

该函数计算实对称矩阵A的特征值和特征向量。 必须在w中提供适当大小的附加工作空间。 A的对角线和下三角形部分在计算过程中被破坏，但没有参考严格的上三角形部分。 特征值存储在向量eval中并且是无序的。 相应的特征向量存储在矩阵evec的列中。 例如，第一列中的特征向量对应于第一特征值。 保证特征向量相互正交并归一化为单位幅度。

您似乎还需要在C ++中应用类似的对称化操作，以便获得至少正确的结果，尽管您可以获得相同的性能。

在MATLAB方面，由于本参考文献中所述的多线程执行，特征值分解可能更快：

内置多线程

线性代数和数值函数，如fft，\\（mldivide），eig，svd和sort在MATLAB中是多线程的。 自Release 2008a以来，MATLAB中默认启用了多线程计算。 这些函数在单个MATLAB会话中自动在多个计算线程上执行，从而允许它们在支持多核的机器上执行得更快。 此外，Image Processing Toolbox™中的许多功能都是多线程的。

为了测试MATLAB对单核的性能，可以通过以下方式禁用多线程

文件>首选项>常规>多线程

在R2007a或更高版本的说明这里 。