给定最大成本，找到具有最小成本和最大长度的路径

Question

我正在寻找一种算法，以在无向加权完全图中给定最大成本的情况下，以最小成本和最大长度找到两个节点之间的路径。 权重是非负的。

就我现在的情况而言，我正在使用 DFS，而且速度很慢（节点数和最大长度也很多）。 我已经在 DFS 的每次迭代中丢弃了所有不可能的节点。

有人能给我指出一个已知的算法来更好地处理这个问题吗？

澄清：理想情况下，算法应该搜索成本最低的路径，但如果这意味着访问更多节点，则允许增加成本。 当它得出结论：在不超过成本限制的情况下不可能到达超过 n 个节点，并且不可能以更少的成本到达 n 个节点时，它应该结束。

更新

图表示例。 我们必须从 A 转到 B。成本限制设置为 5：

这条路径（红色）没问题，但算法应该继续寻找更好的解决方案

这更好，因为虽然成本增加到 4，但它包含 1 个节点

这里的路径包含 3 个节点，所以它比以前好多了，成本是可以接受的 5

最后这个解决方案甚至更好，因为路径也包含 3 个节点，但成本为 4，比以前少。

希望图片比文字解释得更好

Answer 1

想法1：

在我看来，您的问题是帕累托最优最短路径搜索问题的变体。 因为您参考了 2 个不同的优化指标：

1. 按边数计算的最长路径
2. 按边权重的最短路径

当然，一些侧面约束只是使问题更容易计算。

您必须实施多标准 dijkstra 以获得帕累托最优结果。 对于这个问题，我找到了两篇很有前途的英文论文：

• 一种多准则帕累托最优路径算法
• 关于多准则最短路径问题

不幸的是，我无法找到这些论文的 pdf 文件以及我之前读过的德语论文 :( 不过，这应该是您的切入点，并将引导您找到一种算法来顺利顺利地解决您的问题。

想法2：

解决这个问题的另一种方法可能在于计算汉密尔顿路径，因为完整图中最长的路径确实是汉密尔顿路径。 计算完所有这些路径后，您仍然需要找到总边权重成本最小的路径。 如果路径的长度在每种情况下都比成本更相关，则此方案很有用。

想法3：

如果边的成本是更重要的事实，您应该计算给定最大长度的这两个节点之间的所有路径，并搜索使用最多的边。

结论：

我认为使用想法 1 将获得最佳结果。但我不太了解您的情况，因此其他想法可能是选项二。

Answer 2

这个问题可以表述为具有优先级的多目标约束满足问题：

• 首先，解决方案必须满足关于最大成本的约束。
• 接下来，解决方案必须具有最大数量的节点（第一个目标）。
• 最后，解决方案必须具有最低成本（第二个目标）。

这个问题是NP难的。 所以，这个问题没有精确的多项式时间算法。 但是一个简单的本地搜索算法可能会帮助你：

• 首先，使用 Dijkstra 算法找到最小成本路径，称为 P。如果成本大于最大成本，则没有解决方案满足约束。
• 接下来，尝试使用 2 个移动运算符向 P 添加更多节点：
  • 插入：选择P外的一个节点，插入P中的最佳位置。
  • 替换：选择 P 外的节点并替换 P 内的节点（当不能使用插入操作符时）。
• 最后，尝试通过使用替换运算符来降低成本。