Python 2查找正数的正整数列表

Question

给定2个正整数列表，请找到从每个列表中选择一个数字的方式，以使它们的和为质数。

我的代码太慢了，因为我同时拥有list1和list 2，每个列表都包含50000个数字。 那么有什么方法可以使其更快，以便在数分钟而不是数天内解决？ :)

    # 2 is the only even prime number
    if n == 2: return True

    # all other even numbers are not primes
    if not n & 1: return False

    # range starts with 3 and only needs to go 
    # up the squareroot of n for all odd numbers
    for x in range(3, int(n**0.5)+1, 2):
        if n % x == 0: return False

    return True



for i2 in l2:
    for i1 in l1:
        if isprime(i1 + i2):
            n = n + 1 # increasing number of ways
            s = "{0:02d}: {1:d}".format(n, i1 + i2)
            print(s) # printing out

Answer 1

草图：

1. 按照@Steve的建议，首先找出所有素数<= max(l1) + max(l2) 。 我们称该列表为primes 。 注意： primes实际上不必是列表； 您可以一次生成最多一次的灌注 。

2. 交换列表（如有必要），使l2是最长的列表。 然后将其变成一个集合： l2 = set(l2) 。

3. 排序l1 （ l1.sort() ）。

然后：

for p in primes:
    for i in l1:
        diff = p - i
        if diff < 0:
            # assuming there are no negative numbers in l2;
            # since l1 is sorted, all diffs at and beyond this
            # point will be negative
            break
        if diff in l2:
           # print whatever you like
           # at this point, p is a prime, and is the
           # sum of diff (from l2) and i (from l1)

l2 ，例如，如果l2是：

l2 = [2, 3, 100000000000000000000000000000000000000000000000000]

这是不切实际的。 它依赖于此，例如在您的示例中， max(max(l1), max(l2))是“合理小”的。

扑出

哼！ 您在评论中说，列表中的数字最长为5位数字。 因此，他们不到100,000。 您在一开始就说该列表每个都有50,000个元素。 因此，它们每个都包含100,000以下所有可能整数的一半，并且您将有大量的质数之和。 如果您想进行微优化，那一切就很重要；-)

无论如何，由于最大可能的总和小于200,000，所以任何筛分方法都将足够快-这将是运行时的重要部分。 这是其余的代码：

def primesum(xs, ys):
    if len(xs) > len(ys):
        xs, ys = ys, xs
    # Now xs is the shorter list.
    xs = sorted(xs)  # don't mutate the input list
    sum_limit = xs[-1] + max(ys)  # largest possible sum
    ys = set(ys)     # make lookups fast
    count = 0
    for p in gen_primes_through(sum_limit):
        for x in xs:
            diff = p - x
            if diff < 0:
                # Since xs is sorted, all diffs at and
                # beyond this point are negative too.
                # Since ys contains no negative integers,
                # no point continuing with this p.
                break
            if diff in ys:
                #print("%s + %s = prime %s" % (x, diff, p))
                count += 1
    return count

我不会提供gen_primes_through() ，因为它无关紧要。 从其他答案中选择一个，或编写自己的答案。

这是提供测试用例的便捷方法：

from random import sample
xs = sample(range(100000), 50000)
ys = sample(range(100000), 50000)
print(primesum(xs, ys))

注意：我正在使用Python3。如果您正在使用Python 2，请使用xrange()而不是range() 。

在两次运行中，它们各自花费了大约3.5分钟。 那就是您一开始所要求的（“分钟而不是几天”）。 Python 2可能会更快。 返回的计数为：

219,334,097

和

219,457,533

当然，可能的总和为50000 ** 2 == 2,500,000,000。

关于计时

此处讨论的所有方法（包括您的原始方法）所花费的时间与两个列表长度的乘积成比例。 所有的摆弄都是为了减少常数因子。 这是对您原始作品的巨大改进：

def primesum2(xs, ys):
    sum_limit = max(xs) + max(ys)  # largest possible sum
    count = 0
    primes = set(gen_primes_through(sum_limit))
    for i in xs:
        for j in ys:
            if i+j in primes:
                # print("%s + %s = prime %s" % (i, j, i+j))
                count += 1
    return count

也许您会更好地理解这一点。 为什么会有很大的改善？ 因为它用快速的查找设置代替了昂贵的isprime(n)函数。 它仍然需要与len(xs) * len(ys)成正比的时间，但是通过用非常便宜的运算代替非常昂贵的内循环运算，可以削减“比例常数”。

而且，实际上，在许多情况下， primesum2()也比我的primesum()更快。 在您的特定情况下 ，使primesum()更快的原因是，只有不到18,000个质数小于200,000。 因此，遍历素数（与primesum()一样）比遍历具有50,000个元素的列表要快得多。

针对此问题的“快速”通用功能将需要根据输入选择不同的方法。

Answer 2

您应该使用Eratosthenes筛子来计算素数。

您还在为每种可能的总和组合计算素数。 而是考虑从列表中求和可以找到最大值。 生成所有素数直至该最大值的列表。

在添加数字的同时，您可以查看数字是否出现在素数列表中。

Answer 3

我会在每个范围内找到最高的数字。 素数的范围是最大数字的总和。

这是筛选素数的代码：

def eras(n):
    last = n + 1
    sieve = [0, 0] + list(range(2, last))
    sqn = int(round(n ** 0.5))
    it = (i for i in xrange(2, sqn + 1) if sieve[i])
    for i in it:
        sieve[i * i:last:i] = [0] * (n // i - i + 1)
    return filter(None, sieve)

查找最多为10000000的素数大约需要3秒钟。然后，我将使用与生成总和相同的n ^ 2算法。 我认为有一个n logn算法，但我无法提出。

它看起来像这样：

from collections import defaultdict
possible = defaultdict(int)
for x in range1:
    for y in range2:
        possible[x + y] += 1

def eras(n):
    last = n + 1
    sieve = [0, 0] + list(range(2, last))
    sqn = int(round(n ** 0.5))
    it = (i for i in xrange(2, sqn + 1) if sieve[i])
    for i in it:
        sieve[i * i:last:i] = [0] * (n // i - i + 1)
    return filter(None, sieve)

n = max(possible.keys())
primes = eras(n)
possible_primes = set(possible.keys()).intersection(set(primes))

for p in possible_primes:
    print "{0}: {1} possible ways".format(p, possible[p])