使用递归的平方根（牛顿算法）

Question

有人可以向我解释这个找到数字平方根的递归伪代码吗？ 我发现很难理解，因为我没有得到n，p和e输入的含义。 谢谢。

if abs(e^2 - n) < p
    SR(n,p,e) = e     
else
    SR(n,p,e) = SR(n,p,(e+n/e)/2)

(e begins at n)

Answer 1

n是您想要的平方根的数字，e是对平方根的估计，p是您想要的精度，即您愿意容忍的误差。 该算法说：如果e与答案“足够接近”，即e ^ 2在n的p之内，则e是您要寻找的答案； 否则，请尝试更好的估计（e + n / e）2。 为什么会有更好的估计？ 如果e大于sqrt（n），则n / e小于sqrt（n），因此sqrt（n）将介于e和n / e之间，因此请尝试将e和n / e的平均值作为下一个估计。 （反之亦然，如果e小于sqrt（n））。

希望这可以帮助，

布鲁斯

Answer 2

牛顿算法的功能远不止是从一个估计变为一个“更好的估计”。 为什么有更好的估计值，后面还有一些详细的数学公式。

这个想法是要找到形式为f(x) = 0 ANY方程的解决方案（除了一些例外情况），如果您对x有一个近似值，则可以通过查看比率来获得更好的近似值f(x)的变化f(x)通常写为f'(x) ，并以此计算出您需要调整的估计量，以获得对真实解的更好估计。

在平方根的情况下，即我们要找到x=sqrt(n) ，我们可以写f(x)=x^2-n和f'(x)=2x ，然后使用牛顿算法来找到向右x使f(x)=0 。 这意味着如果我们有一个估计值e ，然后计算出下一个估计值，我们看f(e)=e^2-n ，我们问我们必须改变多少e才能消除此误差。 。 由于f的变化率为f'(x) ，在(e,e^2-n)点处为2e ，因此我们应将e^2-n除以2e来算出需要调整e通过，以获得我们的下一个估计。

也就是说，我们的下一个估计应该是

  e - (e^2-n) / 2e
= e - (e / 2)  + (n / 2e)
= (e + n / e) / 2

有关牛顿算法的更多信息，请访问http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/NewtonsMethod.aspx （其中有一张漂亮的图来说明其工作原理）和http：//www.math。 brown.edu/UTRA/linapprox.html ，其中包含一些更详细的技术信息。