使用遞歸的平方根（牛頓算法）

Question

有人可以向我解釋這個找到數字平方根的遞歸偽代碼嗎？ 我發現很難理解，因為我沒有得到n，p和e輸入的含義。 謝謝。

if abs(e^2 - n) < p
    SR(n,p,e) = e     
else
    SR(n,p,e) = SR(n,p,(e+n/e)/2)

(e begins at n)

Answer 1

n是您想要的平方根的數字，e是對平方根的估計，p是您想要的精度，即您願意容忍的誤差。 該算法說：如果e與答案“足夠接近”，即e ^ 2在n的p之內，則e是您要尋找的答案； 否則，請嘗試更好的估計（e + n / e）2。 為什么會有更好的估計？ 如果e大於sqrt（n），則n / e小於sqrt（n），因此sqrt（n）將介於e和n / e之間，因此請嘗試將e和n / e的平均值作為下一個估計。 （反之亦然，如果e小於sqrt（n））。

希望這可以幫助，

布魯斯

Answer 2

牛頓算法的功能遠不止是從一個估計變為一個“更好的估計”。 為什么有更好的估計值，后面還有一些詳細的數學公式。

這個想法是要找到形式為f(x) = 0 ANY方程的解決方案（除了一些例外情況），如果您對x有一個近似值，則可以通過查看比率來獲得更好的近似值f(x)的變化f(x)通常寫為f'(x) ，並以此計算出您需要調整的估計量，以獲得對真實解的更好估計。

在平方根的情況下，即我們要找到x=sqrt(n) ，我們可以寫f(x)=x^2-n和f'(x)=2x ，然后使用牛頓算法來找到向右x使f(x)=0 。 這意味着如果我們有一個估計值e ，然后計算出下一個估計值，我們看f(e)=e^2-n ，我們問我們必須改變多少e才能消除此誤差。 。 由於f的變化率為f'(x) ，在(e,e^2-n)點處為2e ，因此我們應將e^2-n除以2e來算出需要調整e通過，以獲得我們的下一個估計。

也就是說，我們的下一個估計應該是

  e - (e^2-n) / 2e
= e - (e / 2)  + (n / 2e)
= (e + n / e) / 2

有關牛頓算法的更多信息，請訪問http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/NewtonsMethod.aspx （其中有一張漂亮的圖來說明其工作原理）和http：//www.math。 brown.edu/UTRA/linapprox.html ，其中包含一些更詳細的技術信息。