Haskell，lambda演算用于评估

Question

（图1）

简单类型的lambda演算的一部分（图1），它在Haskell中实现，如下所示。

 evaluate expression = do
        case expression of
        (Application (Lambda x ltype term) value) | isValue value = True -> substitute term x value
        (Application value e2) | isValue value = True  -> let e22 = evaluate e2 in Application value e22
        (Application  e1 e2) -> let e11 = evaluate e1 in Application e11 e2

但是，这不适用于这些测试用例，

1） print (evaluate (Application (Var "x") (Var "y")))

2） print (evaluate (Application (Constant 3) (Var "y")) “（常数3）是一个值”

但是，对于第一个测试用例，我知道这是因为(Var "x")因为e1是终端所以它不能转换。 这是否意味着我应该添加一个Stuck案例？ 但是如果可能的话，我想返回一个表明转换成功的输出。

先感谢您...

Answer 1

如果你正在实现你的lambda演算AST

data Exp = Var String
         | Constant Int
         | App Exp Exp
         | Lam String Exp

然后解释器evaluate :: Exp -> Out可以产生许多值，有些是输入效果不佳的结果。 例如

evaluate (Lam "f" (Lam "x" (App (Var "f") (Var "x")))
-- type like (a -> b) -> a -> b

evaluate (Var "x")
-- open term, evaluation gets stuck

evaluate (App (Lam "x" (Constant 4)) (Constant 3))
-- term results in a constant

我们需要在返回类型中表示所有这些类型。 一种典型的方法是使用类似的通用类型

data Out
  = Stuck
  | I Int
  | F (Out -> Out)

这又强调了卡住案件的必要性。 如果我们检查evaluate的App分支

evaluate (App e1 e2) = case evaluate e1 of
  Stuck -> Stuck
  I i   -> Stuck
  F f   -> f (evaluate e2)

显示Stuck案件如何升至顶部并且可能来自键入不良的术语。

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有许多方法可以在Haskell中编写一个良好类型的简单类型的lambda演算类型。 我非常喜欢高阶抽象语法最终编码 。 它非常对称。

class STLC rep where
  lam :: (rep a -> rep b) -> rep (a -> b)
  app :: rep (a -> b) -> (rep a -> rep b)
  int :: Int -> rep Int

newtype Interpreter a = Reify { interpret :: a } -- just the identity monad

instance STLC Interpreter where
  lam f   = Reify $ interpret . f . Reify
  app f a = Reify $ interpret f $ interpret a
  int     = Reify

在这个公式中，根本不可能编写一种类型的STLC rep => rep a ，它不是很好的类型且永不粘连。 interpret的类型也表明了这一点

interpret :: Interpreter a -> a

看不到Out类型。

Answer 2

但是， substitute如何起作用（即haskell中substitute函数的实现是什么）。