R中的约束多元线性回归

Question

假设我必须在回归中估计系数a，b：

y=a*x+b*z+c

我事先知道y总是在y> = 0和y <= x的范围内，但回归模型有时会产生y在此范围之外。

样本数据：

mydata<-data.frame(y=c(0,1,3,4,9,11),x=c(1,3,4,7,10,11),z=c(1,1,1,9,6,7))
round(predict(lm(y~x+z,data=mydata)),2) 
    1     2     3     4     5     6 
-0.87  1.79  3.12  4.30  9.34 10.32 

第一预测值<0。

我尝试了没有拦截的模型：所有预测都是> 0，但y的第三个预测> x（4.03> 3）

round(predict(lm(y~x+z-1,data=mydata)),2)
   1    2    3    4    5    6 
0.76 2.94 4.03 4.67 8.92 9.68 

我还考虑建模比例 y / x而不是y：

mydata$y2x<-mydata$y/mydata$x
round(predict(lm(y2x~x+z,data=mydata)),2)
   1    2    3    4    5    6 
0.15 0.39 0.50 0.49 0.97 1.04 
round(predict(lm(y2x~x+z-1,data=mydata)),2)
   1    2    3    4    5    6 
0.08 0.33 0.46 0.47 0.99 1.07 

但现在第六次预测> 1，但比例应在[0,1]范围内。

我还尝试应用glm与offset选项一起使用的方法： R中的Rate变量的回归和http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_regression#.22Exposure.22_and_offset，但这不成功。

请注意，在我的数据因变量中：比例y / x既是零膨胀又是一膨胀。 任何想法，在R（'glm'，'lm'）中建立模型的合适方法是什么？

Answer 1

你是在正确的轨道上：如果0≤y≤x则0≤（y / x）≤1。这表明将y/x拟合为glm(...)的逻辑模型。 详情如下，但考虑到你只得到6分，这是一个非常合适的选择。

主要问题是该模型无效，除非(y/x)的误差为常数且具有常数方差（或等效地，y中的误差随x增加）。 如果这是真的那么我们应该获得（或多或少）线性QQ图，我们这样做。

一个细微差别：glm逻辑模型的接口需要两列y：“成功次数（S）”和“失败次数（F）”。 然后计算概率为S /（S + F）。 所以我们必须提供两个模仿这个的列：y和xy。 然后glm(...)将计算y/(y+(xy)) = y/x 。

最后，拟合总结表明x很重要，z可能也可能不是。 您可能想尝试排除z的模型，看看是否可以改善AIC。

fit = glm(cbind(y,x-y)~x+z, data=mydata, family=binomial(logit))
summary(fit)
# Call:
# glm(formula = cbind(y, x - y) ~ x + z, family = binomial(logit), 
#     data = mydata)

# Deviance Residuals: 
#        1         2         3         4         5         6  
# -0.59942  -0.35394   0.62705   0.08405  -0.75590   0.81160  

# Coefficients:
#             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)  
# (Intercept)  -2.0264     1.2177  -1.664   0.0961 .
# x             0.6786     0.2695   2.518   0.0118 *
# z            -0.2778     0.1933  -1.437   0.1507  
# ---
# Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

# (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

#     Null deviance: 13.7587  on 5  degrees of freedom
# Residual deviance:  2.1149  on 3  degrees of freedom
# AIC: 15.809

par(mfrow=c(2,2))
plot(fit)         # residuals, Q-Q, Scale-Location, and Leverage Plots

mydata$pred <- predict(fit, type="response")
par(mfrow=c(1,1))
plot(mydata$y/mydata$x,mydata$pred,xlim=c(0,1),ylim=c(0,1), xlab="Actual", ylab="Predicted")
abline(0,1, lty=2, col="blue")