汤姆的包比萨莉的包重多少？

Question

汤姆（Tom）和莎莉（Sally）各自有50个哈密瓜，它们的重量介于0到1500盎司（含）之间。 他们每个人都随机袋装20个自己的哈密瓜。 给定所有100个长面包片的重量，汤姆的包至少重达莎莉1.5倍的概率是多少？

我将此问题建模为一个函数，该函数将两个大小均为50的int数组作为输入，并从0到1返回一个双精度值。我试图列出大小为20的所有组合作为数组中的值，然后列出Tom的每种组合重量，遍历Sally的所有组合，并计算出有多少个重量小于Tom的行李重量的1.5倍。 但是，这种方法已被证明太慢了。

有没有更快的方法？ 还是我辞职了，我相信指数方法。

Answer 1

由于C（50,20）= 47,129,212,243,960，但1500x20 = 30000，这将是建立两个阵列（对于Tom和Sally的），每个大小30000的更有用的，并且在每个索引i的组合的数量计数（在总C（50,20）组合），总权重为i 。

使用这样的数组比较S（Sally）<1.5 * S（Tom）的概率是一项可管理的任务。

主要问题是，与构建47,129,212,243,960个总和相比，我们可以更快地构建这样的数组吗？ 换句话说-我们能否有效地找出30,000个可能值中有多少个大小为20的子集之和？

在这种情况下，对子集和问题进行动态编程的方法非常实用，因为它仅需要50 * 20 * 1500个算术运算。

Answer 2

生成函数的乐趣：令t_i为Tom的第i哈密瓜的权重，而s_i为Sally的第i哈密瓜的权重。 计算多项式T（x，y）= product_i（1 + xy ^ t_i）和S（x，y）= product_i（1 + xy ^ s_i）。 x ^ ky ^ w的系数是选择总重量为w的k个哈密瓜的方法的数量。 设T20（y）为T（x，y）中x ^ 20的系数，S20（y）为T（x，y）中x ^ 20的系数。 计算乘积T（y ^ 2）S（y ^ -3）。 y ^ delta的系数是Tom的体重减去1.5倍Sally的体重等于0.5 delta的方式的数量。 返回y的非负幂的系数总和除以y的所有幂的系数总和。

这仅是哈密瓜总重量中的弱多项式，但这似乎足够好了。