如何从R中的Pareto尾部的对数正态分布生成样本？

Question

我想用R中的Pareto尾部从对数正态分布生成一个样本。有人可以帮助我吗？ 谢谢。

Answer 1

我不确定这是你在寻找什么，但是关于Double Pareto Log-normal Distributions主题的文献数量相当多，或者说是dPlN。 看到这个 ， 这个 ， 这个 。 这些用于模拟从收入和收入分配到油田规模到互联网流量的所有内容 。

如果这不是你想要的，请告诉我，我会删除帖子。

您询问如何从dPlN生成随机样本。 理论上，可以通过从均匀分布U[0,1]生成随机样本并使用目标分布的逆CDF对其进行变换来从任意分布生成随机样本。

首先，我们需要dPlN的PDF，然后我们将其整合以找到CDF，然后我们将其反转以找到逆CDF。 dPlN的PDF在方程8和9的第一个参考文献中给出：

其中，α和β是位置参数和ν和^τ2是平均值和对数正态分布的方差。 Φ和^Φc为CDF以及N互补的CDF [0,1]。 粗略地，较小的α和β意味着较长的尾部，ν影响峰的位置，τ影响峰的宽度。

所以在R中，我们计算dPlN的PDF，CDF和逆CDF，如下所示：

f = function(x,alpha, beta, nu, tau) {   # probability density of dPlN
  A = function(theta, nu, tau) exp(theta*nu +(alpha*tau)^2/2)
  c = alpha*beta/(alpha+beta)
  z.alpha = (log(x) - nu - alpha*tau^2)/tau
  z.beta  = (log(x) - nu + beta*tau^2)/tau
  t.alpha = x^-(alpha+1)*A(alpha,nu,tau)*pnorm(z.alpha)
  t.beta  = x^(beta-1)*A(-beta,nu,tau)*(1-pnorm(z.beta))
  return(c*(t.alpha + t.beta))
}
F = function(x,alpha,beta,nu,tau) {      # cumulative density function of dPlN
  ifelse(x > 1e4, 1, integrate(f,0.001,x,alpha,beta,nu,tau)$value)}
F = Vectorize(F, vectorize.args="x")

F.inv = function(y, alpha,beta,nu,tau){  # inverse CDF of dPlN
  uniroot(function(x, alpha,beta,nu,tau){F(x, alpha,beta,nu,tau)-y},
          interval=c(0,1e6),alpha,beta,nu,tau)$root
}
F.inv = Vectorize(F.inv, vectorize.args="y")

x=seq(0,50,length.out=1000)
y=seq(0,.995,length.out=1000)

par(mfrow=c(1,3))
plot(x,f(x,2,2,2,1),type="l",main="f(x)")
plot(x,F(x,2,2,2,1),type="l",main="CDF of f(x)")
plot(y,F.inv(y,2,2,2,1),type="l",main="Inverse CDF of f(x)")

最后，我们使用F.inv(...)生成dPlN的随机变量，并绘制结果以证明随机样本确实遵循预期的概率分布。

# random sample from dPlN (double Pareto Lognormal distribution)
X = runif(1000,0,1)   # random sample from U[0,1]
Z = F.inv(X,2,2,2,1)

par(mfrow=c(1,1))
hist(Z, breaks=c(seq(min(x),max(x),length=50),Inf), 
     xlim=range(x), freq=FALSE)
lines(x,f(x,2,2,2,1),main="Density function",
      xlim=range(x), col="red", lty=2)

免责声明此代码尚未针对alpha，beta，nu和tau的所有可能值进行测试，因此无法保证它在所有情况下均可使用。