矩阵中的最小分割数

Question

有一个矩形板，其中包含宽x高的正方形瓷砖。 通过从水平或垂直边缘分开，可以将图纸分为两个矩形。

例如，一张2x2的图纸可以分成两张2x1，但不能分为两张，其中一张为1x1。 工作表可以根据需要进行多次分割。

我想创建至少一个完全由T瓷砖组成的作品。 如何找到达到此目标所需的最少拆分操作？

例如 如果，width = 5，height = 4，T = 8，则最小分割数=？
第一次拆分中将有2个片段：2x4、3x4。 2x4 = 8等于T。 分割数= 1。

我有蛮力解决方案，通过该解决方案，我可以找到在一张纸上获得T瓦片所需的最小分割数，但我正在寻找一种优化的方法。 有什么帮助或建议吗？

Answer 1

令n和m为木板的宽度和高度。

1. 如果T> n * m，则显然不可能进行所需的分割。

2. 如果n或m除以T，那么我们可以轻松地进行一个除法。 注意，只有一个分割就足够的情况就是T被n或m整除的情况。 另外，有一个特殊情况-当T = n * m时，我们不必进行任何分割。

3. 在其余情况下，如第2节所述，我们必须至少进行两次拆分。 看到如果对于某些a <= n和b <= m T = a * b，那么我们可以进行一个分割以获取大小为axm的矩形，然后进行另一个分割以获取ax b。 因此，现在我们必须遍历所有可能的对（a，b），以使T = a * b。 如果其中有一对矩形axb可以容纳在大小为nxm的板上，那么我们可以回答答案是两个分割。 如果找不到这样的对，那么会发生什么情况，即对于T是一个大质数，那么就不可能像情况1那样分裂。

在某些情况下（即1.和2.），解决方案的复杂度为O（1），但在一般情况下（3.），当我们检查所有对（a，b）时，其复杂度为O（sqrt T）。 a * b = T然后MIN（a，b）<= sqrt（T）-这是一个常见的技巧，在搜索某个数的除数时也会使用。