C ++犰狳没能正确解决条件差的矩阵

Question

关于Armadillo中内置的线性求解器，我有一个相对简单的问题。 我是C ++的新手，但有其他语言的编码经验。 我通过连续线性化解决流体流问题，使用犰狳函数Solve（A，b）在每次迭代时得到解。

我遇到的问题是我的矩阵非常恶劣。 决定因素大约为10 ^ -20，条件数为75000.我知道这些条件很糟糕，但这就是我所拥有的。 有谁知道是否有可能在我的A矩阵和解决函数中指定精度超过double（也许是long double）？ 我知道Armadillo中有双矩阵类，但我没有找到任何更高精度的文档。

为了从另一个角度来看这个问题，我在Mathematica中编写了一些代码，并且LinearSolve工作得非常好，程序收敛到了正确的答案。 我的理由是Mathematica变量具有更高的精度，可以处理更高水平的舍入误差。

如果有人对此有任何见解，请告诉我。 我知道还有其他方法来处理条件差的矩阵（如预处理和旋转），但我的工作更多的是物理学而不是实际的数值解，所以我试图避开它。

编辑：我只是将Mathematica版本的精度限制在15位小数，程序仍然收敛。 这使我相信它不是一个可变精度问题，而是该方法的一个问题。

Answer 1

正如你所说“你的工作更多是物理学”：我不会试图提高准确度，而是使用Moore-Penrose Pseudo-Inverse，在Armadillo中可以通过函数pinv获得。 然后，您应该体验一下参数tolerance ，将其设置为合理的水平。

几何解释如下：坏条件数是由于行/列向量线性相关的事实。 在物理学中，这种线性依赖性通常具有至少需要解释的起源。 伪逆首先将矩阵投影到较低维空间上，其中通过丢弃具有小于参数tolerance奇异值的所有奇异向量，向量“线性较小地依赖”。 得到的矩阵具有更好的条件数，使得可以用更少的问题构造标准逆。