如果 L* 是正则的，那么 L 是正则的吗？

Question

我试图寻找答案，但得到的答案相互矛盾，所以我不确定。 我知道反之亦然，如果 L 是规则的，那么 L* 在闭包下是规则的。

我想如果 L* 是规则的，那么 L 是规则的，因为 L* 的子集应该是规则的，而 L 是该子集的一部分。

Answer 1

如果 L* 是正则的，那么 L 不一定是正则的。 例如，考虑字母 Σ 上的任何非正则语言 L，使得 Σ ⊆ L。（也就是说，假设您有一种非正则语言，其中字母表中的每个字符都是 L 中的一个字符串。）在这种情况下，L* = Σ *，因为您可以将任何字符串作为 Σ 的所有单个字符的串联。

这是一个可能的例子。 设 Σ = {a} 并考虑语言 L = { a ^{2 n} | n∈N}。 这种语言不是正则的，您可以使用正则语言的抽水引理或 Myhill-Nerode 定理来证明它。 然而，语言 L* 是语言 a*，它是正则的。 要看到这一点，请注意，由于 L 包含字符串 a，因此语言 L* 包含任何自然数 n 形式为 a ^{n 的}所有字符串。

另一种选择：选择 L 作为 Σ 上的任何非正则语言，然后考虑语言 L ∪ Σ。 这也是一种非正则语言（如果L∪Σ是正则的，那么我们可以减去通过联合加入的每个字符，每一步都留下一个正则语言，以证明L是正则的），它满足上述要求。

希望这可以帮助！

Answer 2

取L = {a,b}*，它是正则的，但有一个非正则子集L={a^nb^n}（这个可以通过抽引理证明是非正则的...），所以它并非正则语言的所有子集都是正则的。