常规的haskell代数数据类型是否等同于上下文无关语法？ GADTS怎么样？

Question

代数数据类型的语法与Backus-Naur Form的语法非常相似，后者用于描述无上下文语法。 这让我想到，如果我们将Haskell类型检查器看作语言的解析器，表示为代数数据类型（例如，表示终端符号的nularry类型构造函数），则接受的所有语言的集合与一组上下文免费语言？ 另外，通过这种解释，GADT可以接受哪些正式语言？

Answer 1

首先，数据类型并不总是描述一组字符串（即语言）。 也就是说，虽然列表类型的确如此，但树型不会。 有人可能反驳说，我们可以将树木“压扁”成列表，并将其视为他们的语言。 然而，像数据类型呢

data F = F Int (Int -> Int)

或者更糟

data R = R (R -> Int)

？

多项式类型（没有->内部的类型）粗略地描述了可以展平的树（按顺序访问），所以让我们以这些为例。

正如您所观察到的，将CFG写为（多项式）类型很容易，因为您可以利用递归

data A = A1 Int A | A2 Int B
data B = B1 Int B Char | B2

以上A表示{ Int^m Char^n | m>n } { Int^m Char^n | m>n } 。

GADT远远超出了无语境的语言。

data Z
data S n 

data ListN a n where
  L1 :: ListN a Z
  L2 :: a -> ListN a n -> ListN a (S n)

data A
data B
data C

data ABC where
   ABC :: ListN A n -> ListN B n -> ListN C n -> ABC

ABC上面表达了（扁平化的）语言A^n B^n C^n ，它不是无上下文的。

你几乎不受GADT限制，因为用它们编码算术很容易。 也就是说，你可以建立一个类型Plus abc这是一个非空当且仅当c=a+b与皮亚诺土黄。 如果图灵机m在输入m上停止，你也可以构建一个非空的类型Halt nm 。 所以，你可以建立一种语言

{ A^n B^m proof | n halts on m , and proof proves it }

这是递归的（大概不是在任何更简单的类中）。

目前，我不知道您是否可以在GADT中描述递归可枚举（可计算可枚举）的语言。 即使在停止问题的例子中，我也必须在GADT中包含“证明”术语以使其有效。

直观地说，如果你有一个长度为n的字符串并且想要针对GADT检查它，你可以构建深度为n所有GADT项，展平它们，然后与字符串进行比较。 这应该证明这种语言总是递归的。 但是，存在类型使得这种树构建方法相当棘手，所以我现在还没有明确的答案。