常規的haskell代數數據類型是否等同於上下文無關語法？ GADTS怎么樣？

Question

代數數據類型的語法與Backus-Naur Form的語法非常相似，后者用於描述無上下文語法。 這讓我想到，如果我們將Haskell類型檢查器看作語言的解析器，表示為代數數據類型（例如，表示終端符號的nularry類型構造函數），則接受的所有語言的集合與一組上下文免費語言？ 另外，通過這種解釋，GADT可以接受哪些正式語言？

Answer 1

首先，數據類型並不總是描述一組字符串（即語言）。 也就是說，雖然列表類型的確如此，但樹型不會。 有人可能反駁說，我們可以將樹木“壓扁”成列表，並將其視為他們的語言。 然而，像數據類型呢

data F = F Int (Int -> Int)

或者更糟

data R = R (R -> Int)

？

多項式類型（沒有->內部的類型）粗略地描述了可以展平的樹（按順序訪問），所以讓我們以這些為例。

正如您所觀察到的，將CFG寫為（多項式）類型很容易，因為您可以利用遞歸

data A = A1 Int A | A2 Int B
data B = B1 Int B Char | B2

以上A表示{ Int^m Char^n | m>n } { Int^m Char^n | m>n } 。

GADT遠遠超出了無語境的語言。

data Z
data S n 

data ListN a n where
  L1 :: ListN a Z
  L2 :: a -> ListN a n -> ListN a (S n)

data A
data B
data C

data ABC where
   ABC :: ListN A n -> ListN B n -> ListN C n -> ABC

ABC上面表達了（扁平化的）語言A^n B^n C^n ，它不是無上下文的。

你幾乎不受GADT限制，因為用它們編碼算術很容易。 也就是說，你可以建立一個類型Plus abc這是一個非空當且僅當c=a+b與皮亞諾土黃。 如果圖靈機m在輸入m上停止，你也可以構建一個非空的類型Halt nm 。 所以，你可以建立一種語言

{ A^n B^m proof | n halts on m , and proof proves it }

這是遞歸的（大概不是在任何更簡單的類中）。

目前，我不知道您是否可以在GADT中描述遞歸可枚舉（可計算可枚舉）的語言。 即使在停止問題的例子中，我也必須在GADT中包含“證明”術語以使其有效。

直觀地說，如果你有一個長度為n的字符串並且想要針對GADT檢查它，你可以構建深度為n所有GADT項，展平它們，然后與字符串進行比較。 這應該證明這種語言總是遞歸的。 但是，存在類型使得這種樹構建方法相當棘手，所以我現在還沒有明確的答案。