不相交的集合和联合数据结构

Question

联合查找结构是一种支持以下操作的数据结构：

● find(x)，返回节点x的代表，以及
● union(x, y)，将包含x 和y 的集合合并为一个集合。

Find(x) 的时间复杂度为O(n) ，因此为了改进这一点，我们建议使用Ranks 的概念

即较大的连接组件吃掉较小的组件

这将时间复杂度提高到O(logn)

我无法理解我们如何通过合并树的 Rank(Depth) 基础来提高时间复杂度，以及如何实现 O(logn) 时间复杂度。

请帮助我理解我根据等级合并树的概念。

Answer 1

关键是要理解表示集合的树的最大高度是log(n) + 1的大小，因此，从任何给定节点到其根节点的后续节点是通过O(log(n))步骤完成的。

我们现在必须证明不相交集森林中每棵树的高度最多为log(n) + 1 - 其中n是这棵树中的节点数。 我们将通过归纳证明它并表明在每个union(x,y) - 这个属性保持不变。

基数：当我们开始时，我们有n不同的树，所有的大小都是 1。 log(1) + 1 = 1 - 所以每棵树确实是最大高度log(n) + 1

Union(x,y) ：我们合并两个集合，大小为n1 x和大小为n2 y。 不失一般性，令n1<=n2 。
根据归纳假设，表示x的树的高度 h1 至多为log(n2)+1因此，联合运算是通过将x的根更改为指向y的根来完成的。 这意味着x中任何节点的最大高度现在最多为

h1+1 = log(n1)+1 + 1 = log(n1) + log(2) + 1 = log(2*n1) + 1 = log(n1 + n1) + 1 <= log(n1 + n2) + 1

所以，我们刚刚发现，对于正式在x每个节点，到根的最大距离是log(n1+n2) + 1 ，并且新树的大小（ x和y合并）现在是n1+n2 ，所以我们证明了对于任何形式上在x节点，所需的属性仍然存在。
对于y - 到根的距离保持不变，而树的大小不会缩小 - 因此该属性在那里也有效。
总之 - 对于所有在x或y节点，根据需要，新根的最大深度现在是log(n1+n2)+1 。
QED

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备注 - 此答案中的所有log均以 2 为基数。