不相交的集合和聯合數據結構

Question

聯合查找結構是一種支持以下操作的數據結構：

● find(x)，返回節點x的代表，以及
● union(x, y)，將包含x 和y 的集合合並為一個集合。

Find(x) 的時間復雜度為O(n) ，因此為了改進這一點，我們建議使用Ranks 的概念

即較大的連接組件吃掉較小的組件

這將時間復雜度提高到O(logn)

我無法理解我們如何通過合並樹的 Rank(Depth) 基礎來提高時間復雜度，以及如何實現 O(logn) 時間復雜度。

請幫助我理解我根據等級合並樹的概念。

Answer 1

關鍵是要理解表示集合的樹的最大高度是log(n) + 1的大小，因此，從任何給定節點到其根節點的后續節點是通過O(log(n))步驟完成的。

我們現在必須證明不相交集森林中每棵樹的高度最多為log(n) + 1 - 其中n是這棵樹中的節點數。 我們將通過歸納證明它並表明在每個union(x,y) - 這個屬性保持不變。

基數：當我們開始時，我們有n不同的樹，所有的大小都是 1。 log(1) + 1 = 1 - 所以每棵樹確實是最大高度log(n) + 1

Union(x,y) ：我們合並兩個集合，大小為n1 x和大小為n2 y。 不失一般性，令n1<=n2 。
根據歸納假設，表示x的樹的高度 h1 至多為log(n2)+1因此，聯合運算是通過將x的根更改為指向y的根來完成的。 這意味着x中任何節點的最大高度現在最多為

h1+1 = log(n1)+1 + 1 = log(n1) + log(2) + 1 = log(2*n1) + 1 = log(n1 + n1) + 1 <= log(n1 + n2) + 1

所以，我們剛剛發現，對於正式在x每個節點，到根的最大距離是log(n1+n2) + 1 ，並且新樹的大小（ x和y合並）現在是n1+n2 ，所以我們證明了對於任何形式上在x節點，所需的屬性仍然存在。
對於y - 到根的距離保持不變，而樹的大小不會縮小 - 因此該屬性在那里也有效。
總之 - 對於所有在x或y節點，根據需要，新根的最大深度現在是log(n1+n2)+1 。
QED

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備注 - 此答案中的所有log均以 2 為基數。