查找是否n！ +1是一个完美的正方形

Question

我正在尝试编写一个程序来查找介于0到100之间的n，即n！ +1是一个完美的正方形。 我正在尝试执行此操作，因为我知道只有三个，所以这是对我的Python能力的测试。

请参阅Brocard的问题 。

Answer 1

math.sqrt始终返回一个float ，即使该float恰好是4.0 。 正如文档所说，“除非另有明确说明，否则所有返回值都是浮点数”。

因此，您对type(math.sqrt(x)) == int将永远是不正确的。

您可以尝试通过检查float是否代表整数来解决此问题，如下所示：

sx = math.sqrt(x)
if round(sx) == sx:

甚至还有一个内置方法可以做到这一点：

if sx.is_integer():

但是请记住， float值并不是实数的完美表示，并且始终存在舍入问题。 例如，对于太大的数字， sqrt可能四舍五入为整数，即使它实际上不是理想的正方形。 例如，如果math.sqrt(10000000000**2 + 1).is_integer()为True ，即使该数字显然不是理想的平方。

我可以告诉您这在您的价值观范围内是否安全，但是您可以说服自己吗？ 如果不是，您不应该仅仅假设它是。

因此，有没有一种方法可以检查不受float路线问题的影响？ 当然，我们可以使用整数算法来检查：

sx = int(round(math.sqrt(x)))
if sx*sx == x:

但是，正如Stefan Pochmann指出的那样，即使这种检查是安全的，这是否意味着整个算法也是如此？ 没有; sqrt本身可能已经舍入到失去整数精度的程度。

因此，您需要一个确切的sqrt 。 您可以通过使用decimal.Decimal 。 decimal.Decimal以极大的配置精度来做到这一点。 这将需要一些工作和大量内存，但这是可行的。 像这样：

decimal.getcontext().prec = ENOUGH_DIGITS
sx = decimal.Decimal(x).sqrt()

但是ENOUGH_DIGITS是ENOUGH_DIGITS ？ 那么，您到底需要多少个数字才能代表100!+1 ？

所以：

decimal.getcontext().prec = 156
while n <= 100:
    x = math.factorial(n) + 1
    sx = decimal.Decimal(x).sqrt()
    if int(sx) ** 2 == x:
        print(sx)
    n = n + 1

如果您考虑一下，有一种方法可以将所需的精度降低到79位，但我将其留给读者练习。

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您大概应该解决此问题的方法是使用纯整数数学。 例如，您可以通过使用牛顿方法来找出整数是否为对数时间的平方，直到您的逼近误差足够小以至于只需检查两个边界整数即可。

Answer 2

对于非常大的数字，最好完全避免使用浮点平方根，因为这样会遇到太多的精度问题，甚至不能保证您在正确答案的1整数值以内。 幸运的是，Python本机支持任意大小的整数，因此您可以编写一个整数平方根检查函数，如下所示：

def isSquare(x):
    if x == 1:
        return True
    low = 0
    high = x // 2
    root = high
    while root * root != x:
       root = (low + high) // 2
       if low + 1 >= high:
          return False
       if root * root > x:
          high = root
       else:
          low = root
    return True

然后，您可以像这样通过0到100的整数进行运算：

n = 0
while n <= 100:
    x = math.factorial(n) + 1
    if isSquare(x):
        print n
    n = n + 1

Answer 3

这是另一个仅处理整数的版本，通过增加2的递减幂来计算平方根，例如intsqrt(24680)将被计算为128 + 16 + 8 + 4 + 1。

 def intsqrt(n):
    pow2 = 1
    while pow2 < n:
        pow2 *= 2
    sqrt = 0
    while pow2:
        if (sqrt + pow2) ** 2 <= n:
            sqrt += pow2
        pow2 //= 2
    return sqrt

factorial = 1
for n in range(1, 101):
    factorial *= n
    if intsqrt(factorial + 1) ** 2 == factorial + 1:
        print(n)

Answer 4

math.sqrt返回的数字永远不是int，即使它是整数。 如何检查浮点值是否为整数