如何计算1到N范围内的所有可能组合的数量？

Question

除了这样做：

from itertools import combinations
def brute_force(x):
    for l in range (1,len(x)+1):
        for f in list(combinations(range(0,len(x)),l)):
            yield f
x = range(1,18)
len(list(brute_force(x)))

[出]：

131071

• 如何数学计算所有可能组合的数量？

• 有没有一种方法可以在不枚举可能的组合的情况下进行计算？

Answer 1

总是存在集合{1,...,n} 2 ⁿ -1个非空子集。

例如，考虑列表['a','b','c'] ：

>>> [list(combinations(['a','b','c'],i)) for i in range(1,4)]
[[('a',), ('b',), ('c',)], [('a', 'b'), ('a', 'c'), ('b', 'c')], [('a', 'b', 'c')]]
>>> l=[list(combinations(['a','b','c'],i)) for i in range(1,4)]
>>> sum(map(len,l))
7

我们列表的长度是3，所以我们有2 ³ -1 = 7个组合。

并且对于range(10) ：

>>> l=[list(combinations(range(10),i)) for i in range(1,11)]
>>> sum(map(len,l))
1023      #2^10-1 = 1024-1=1023

注意，如果要计算空子集，则可以使用2^n 。

实际上是从数学角度来看的：

集合的k组合是S的k个不同元素的子集。如果集合具有n个元素，则k组合的数量等于二项式系数 ：

对于所有组合：

Answer 2

假设您有[1, 10) 1，10）中的列表，并且想要选择3项目

数学上

>>> math.factorial(9) // (math.factorial(3) * math.factorial(6))
84

这是组合的定义

_____n!_____
 k!(n - k)!

因此作为一般功能

def num_combinations(n, k):
    return math.factorial(n) // (math.factorial(k), math.factorial(n-k))

蛮力

>>> len(list(itertools.combinations(range(1,10), 3)))
84