Sympy：在有限域中求解矩阵

Question

对于我的项目，我需要在给定矩阵 Y 和 K 的情况下求解矩阵 X。 (XY=K) 每个矩阵的元素必须是以随机 256 位素数为模的整数。 我第一次尝试解决这个问题是使用 SymPy 的mod_inv(n)函数。 这样做的问题是我的内存不足，矩阵大小约为 30。我的下一个想法是执行矩阵分解，因为这可能不会占用太多内存。 但是，SymPy 似乎不包含可以找到以数字为模的矩阵的求解器。 我可以使用任何解决方法或自制代码？

Answer 1

sympy的Matrix类支持模逆。 这是一个模 5 的示例：

from sympy import Matrix, pprint

A = Matrix([
    [5,6],
    [7,9]
])

#Find inverse of A modulo 26
A_inv = A.inv_mod(5)
pprint(A_inv)

#Prints the inverse of A modulo 5:
#[3  3]
#[    ]
#[1  0]

用于查找行缩减梯形形式的rref方法支持关键字iszerofunction ，该iszerofunction指示矩阵中的哪些条目应视为零。 我相信预期用途是为了数值稳定性（将小数视为零），尽管我不确定。 我用它来减少模块化。

这是一个模 5 的示例：

from sympy import Matrix, Rational, mod_inverse, pprint

B = Matrix([
        [2,2,3,2,2],
        [2,3,1,1,4],
        [0,0,0,1,0],
        [4,1,2,2,3]
])

#Find row-reduced echolon form of B modulo 5:
B_rref = B.rref(iszerofunc=lambda x: x % 5==0)

pprint(B_rref)

# Returns row-reduced echelon form of B modulo 5, along with pivot columns:
# ([1  0  7/2  0  -1], [0, 1, 3])
#  [                ]
#  [0  1  -2   0  2 ]
#  [                ]
#  [0  0   0   1  0 ]
#  [                ]
#  [0  0  -10  0  5 ]  

这是正确的，除了rref[0]返回的矩阵仍然有 5 和分数。 通过取模并将分数解释为模逆来处理这个问题：

def mod(x,modulus):
    numer, denom = x.as_numer_denom()
    return numer*mod_inverse(denom,modulus) % modulus

pprint(B_rref[0].applyfunc(lambda x: mod(x,5)))

#returns
#[1  0  1  0  4]
#[             ]
#[0  1  3  0  2]
#[             ]
#[0  0  0  1  0]
#[             ]
#[0  0  0  0  0]