解决背包的变体，其中物品的价值取决于麻袋中已有的物品

Question

我正在尝试解决以下问题：
我有一组N项目，其中每对项目都有一个共同得分，我需要选择W项目的组合，以使总得分最高。
例如，项目i,j,k总分是

score(i,j) + score(i,k) + score(j,k).

为了避免经历所有N^W可能的组合，我考虑过对0-1背包问题进行变型，并通过动态编程来解决这两个变化：

1. 将所有权重设置为等于1（因此最终我将在麻袋中得到W物品）
2. 我将根据要检查的当前物料以及此时已放入袋中的物料来“即时”计算值，而不是每个物料都具有一个恒定值的数组。

我已经开始用这两个更改对解决方案进行编码，但是现在，我想得更多了，因为“最优子结构”属性不成立，恐怕无法用动态编程来解决。
例如，如果W=3并且项i,j,k是最优解，则对于W=2 ， i,j不一定是最优解（根据上述总分的计算）。
有谁知道如何通过动态编程而不是O(N^W)蛮力解决此问题？

谢谢

Answer 1

您的问题是NP难的，这意味着几乎可以肯定没有快速的多项式时间算法可以解决它，因为没有人能够提出多项式时间算法来解决NP难的问题。 要查看NP硬度，假设您有一个图形，其中节点是您的索引，并且如果i和j之间有边，则将i，j之间的分数定义为1，否则为0。然后，如果可以，在多项式时间内，找到最多包含W个节点的节点的最大分数子集，然后可以在多项式时间内找出图中是否有大小为W的团。 这是一个NP完全问题。