解決背包的變體，其中物品的價值取決於麻袋中已有的物品

Question

我正在嘗試解決以下問題：
我有一組N項目，其中每對項目都有一個共同得分，我需要選擇W項目的組合，以使總得分最高。
例如，項目i,j,k總分是

score(i,j) + score(i,k) + score(j,k).

為了避免經歷所有N^W可能的組合，我考慮過對0-1背包問題進行變型，並通過動態編程來解決這兩個變化：

1. 將所有權重設置為等於1（因此最終我將在麻袋中得到W物品）
2. 我將根據要檢查的當前物料以及此時已放入袋中的物料來“即時”計算值，而不是每個物料都具有一個恆定值的數組。

我已經開始用這兩個更改對解決方案進行編碼，但是現在，我想得更多了，因為“最優子結構”屬性不成立，恐怕無法用動態編程來解決。
例如，如果W=3並且項i,j,k是最優解，則對於W=2 ， i,j不一定是最優解（根據上述總分的計算）。
有誰知道如何通過動態編程而不是O(N^W)蠻力解決此問題？

謝謝

Answer 1

您的問題是NP難的，這意味着幾乎可以肯定沒有快速的多項式時間算法可以解決它，因為沒有人能夠提出多項式時間算法來解決NP難的問題。 要查看NP硬度，假設您有一個圖形，其中節點是您的索引，並且如果i和j之間有邊，則將i，j之間的分數定義為1，否則為0。然后，如果可以，在多項式時間內，找到最多包含W個節點的節點的最大分數子集，然后可以在多項式時間內找出圖中是否有大小為W的團。 這是一個NP完全問題。