高度为h的二叉搜索树的构造

Question

给定前n个自然数作为BST的键，如何确定高度为'h'的所有可能树的根节点。

我已经想出了一种蛮力方法，其中我用n个节点构造了所有可能的树，然后选择了高度为h但时间复杂度接近O（n！）的树。 有人可以建议一种更好的方法吗？

Answer 1

问题陈述。 鉴于自然数n和h ，确定到底的所有元素root在1..n使得root是在二叉搜索树的根1..n高度的h 。

解决方法 。 我们可以从1..n任何数字开始在1..n上构建简并的二叉搜索树，方法是将其在root拆分。 这会将下限从旧解决方案更改为h-1 ，而上限保持不变，从而呈现出完整的边界，如下所示：

 h-1 <= max(root-1, n-root) <= 2^h - 1

旧的解决方案（仅对于完整的二叉树正确）。 高度为h完整二叉树至少具有2h+1节点，并且最多具有2^(h+1)-1节点 。 不难看出，不仅对于二叉树，而且对于二叉搜索树，这些界限都是紧密的。 特别是，它们适用于left和right您的子树root 。 由于这是1..n上的二叉搜索树，因此您将使left的元素正好包含元素1..(root-1) ，而right的元素right包含元素(root+1)..n 。

这意味着以下条件既是必要条件，也是充分条件： left和right的较大子树必须满足不等式

2*(h-1) + 1 <= nodes(subtree) <= 2^h - 1

换句话说， root的可能值恰好是1..n满足的所有值

2*(h-1) + 1 <= max(root-1, n-root) <= 2^h - 1

更新。 我盲目地看了我在Wikipedia上发现的不平等，却没有意识到它仅适用于完整的二叉树。