高度為h的二叉搜索樹的構造

Question

給定前n個自然數作為BST的鍵，如何確定高度為'h'的所有可能樹的根節點。

我已經想出了一種蠻力方法，其中我用n個節點構造了所有可能的樹，然后選擇了高度為h但時間復雜度接近O（n！）的樹。 有人可以建議一種更好的方法嗎？

Answer 1

問題陳述。 鑒於自然數n和h ，確定到底的所有元素root在1..n使得root是在二叉搜索樹的根1..n高度的h 。

解決方法 。 我們可以從1..n任何數字開始在1..n上構建簡並的二叉搜索樹，方法是將其在root拆分。 這會將下限從舊解決方案更改為h-1 ，而上限保持不變，從而呈現出完整的邊界，如下所示：

 h-1 <= max(root-1, n-root) <= 2^h - 1

舊的解決方案（僅對於完整的二叉樹正確）。 高度為h完整二叉樹至少具有2h+1節點，並且最多具有2^(h+1)-1節點 。 不難看出，不僅對於二叉樹，而且對於二叉搜索樹，這些界限都是緊密的。 特別是，它們適用於left和right您的子樹root 。 由於這是1..n上的二叉搜索樹，因此您將使left的元素正好包含元素1..(root-1) ，而right的元素right包含元素(root+1)..n 。

這意味着以下條件既是必要條件，也是充分條件： left和right的較大子樹必須滿足不等式

2*(h-1) + 1 <= nodes(subtree) <= 2^h - 1

換句話說， root的可能值恰好是1..n滿足的所有值

2*(h-1) + 1 <= max(root-1, n-root) <= 2^h - 1

更新。 我盲目地看了我在Wikipedia上發現的不平等，卻沒有意識到它僅適用於完整的二叉樹。