如何证明算法的时间复杂度为O（2 ^ n）？

Question

我正在做HackerRank Coin Change的练习面试问题

我卡住了，我正在努力了解这个问题的解决方案 。 这是这个问题的递归解决方案。（用我的评论来理解它）

  public static int numWays(int[] coins, int sumTo) {
   return numWaysWhichCoin(coins, sumTo, 0);
}
private static int numWaysWhichCoin(int[] coins, int sumTo, int whichCoin) {
    if(sumTo == 0) {
        //empty set
        return 1;
    } else if(sumTo < 0) {
        //no way to form a negative sum with positive coin values
        return 0;
    }  else {
        //sumTo is positive 
        //case gone through all the coins but still a positive sum. Impossible
        if(sumTo > 0 && whichCoin == coins.length) {
            return 0;
        }
        //with and without. With, you can keep using the same coin 
        return numWaysWhichCoin(coins, sumTo - coins[whichCoin], whichCoin) + numWaysWhichCoin(coins, sumTo, whichCoin + 1);
    }
}

作者指出该算法以O（2 ⁿ ）时间复杂度运行。 根据我在面试中的经验，你应该证明你的答案是合理的。

你怎么证明这个时间的复杂性？ 从我之前的工作到显示在O（2 ⁿ ）时间运行的算法，我会使用递归关系，如（Fibonacci）T（n）= T（n-1）+ T（n-2）+ c <= 2T（ n-1）+ c，
T（1）= d，但是我不能从这里得到像这样的递归关系。 还有另一种方法可以解决这个问题吗？

Answer 1

这两个递归调用使它就像一个以2 n速率增长的binaric树。

您的算法就复杂性而言与Fibonacci递归算法完全相同。 因此，您可以查看并找到许多答案和表达式，甚至可以证明为什么递归Fibonacci的大小为2 n。

Answer 2

假设有R种不同的组合（请求的结果）。 在特定解r（0 <= r <= R-1）中使用的第i个硬币（0 <= i <= M-1）的硬币数是C（i，r）。 因此对于0 ... R-1中的每个r，我们有C（0，r）+ C（1，r）+ .... C（M-1，r）= N. 0 ... R-1中每个r的C（i，r）的最大值是max_c（i）= floor（N / Vi）（Vi是硬币i的值），其小于或等于N.其中i = 0..M-1的c_max（i）之和<= N * M. 因此，在所有组合中使用的单个硬币的总数是O（NM）。 您呈现的算法简单地迭代c_max（i）每个硬币值Vi的单个硬币的上述组的所有子组，其中O（2 ^（NM））。